측도의 일반적인 정의
general definition of measure
정의
가측 공간 $(X,\mathcal{E})$가 주어졌다고 하자. 아래의 세 조건을 만족하는 확장된 실수값을 갖는 함수 $\mu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}$를 측도measure 라고 한다.
(a) $\mu ( \varnothing ) = 0$
(b) $\mu(E) \ge 0,\quad \forall E\in \mathcal{E}$
(c) $\left\{E_j\right\}$를 $\mathcal{E}$에서 서로소인 집합들의 수열이라고 하자. 그러면 다음을 만족한다.
$$ \mu \left( \bigcup _{j=1}^\infty E_j \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \mu (E_j) $$
순서쌍 $(X,\mathcal{E}, \mu)$를 측도 공간measure space 이라 한다.
두 집합 $E_1$, $E_2$가 $E_1 \cap E_2=\varnothing$를 만족하면 $E_1$와 $E_2$를 서로소disjoint인 집합이라 한다.
설명
$\mu$의 조건을 $\mu\ :\ \mathcal{E} \rightarrow [0,\infty]$로 바꾸면 (b) 를 포함하므로 생략할 수 있다.
조건 (c) 는 간단히 말해서 가산가법성이다. 주의해야할 점은 서로소인 집합에 대해서만 성립한다는 것이다.
부호측도와 측도를 같이 언급할 때는 강조를 위해서 측도를 양측도positive measure라고 부르기도 한다.
성질
$(X,\mathcal{E},\mu)$를 측도 공간이라 하자.
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(A) 단조성: $E,F\in \mathcal{E}$이고 $E\subset F$이면, $\mu(E) \le \mu(F)$이다.
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(B) 가산준가법성: $\left\{ E_j \right\}_1^\infty$가 $\mathcal{E}$의 원소들의 수열이면, $\mu \left( \bigcup_1^\infty E_j \right) \le \sum _1^\infty \mu(E_j)$이다.
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(C) 아래로부터의 연속성: $\left\{ E_j \right\}_1^\infty \subset \mathcal{E}$가 단조증가수열이라고 하자. 다시말해 $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$. 그러면 다음이 성립한다. $$ \mu\left( \bigcup \nolimits _1^\infty E_j \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu(E_j) $$
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(D) 위로부터의 연속성: $\left\{ E_j \right\}_1^\infty \subset \mathcal{E}$가 단조감소수열이라고 하자. 다시말해 $E_1 \supset E_2 \supset \cdots$. 그리고 $\mu(E_1)<\infty$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$ \mu\left(\bigcap \nolimits _1^\infty E_j \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu(E_j) $$
증명
(A)
$E \subset F$라고 하자. 그러면 $F=F\setminus E+ E$이다. 이때 $E$와 $F\setminus E$는 서로소이므로 측도의 정의 (c) 에 의해 다음이 성립한다.
$$ \mu(F) = \mu(F\setminus E+ E) = \mu(F\setminus E) + \mu (E) $$
그러면 측도의 정의 (b) 에 의해서 다음이 성립한다.
$$ \mu(F\setminus E) + \mu (E) \ge \mu(E) $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \mu(F) \ge \mu(E) $$
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(B)
$F_1=E_1$라고 하자. 그리고 $k>1$에 대해서 $F_k=E_k \setminus \left( \bigcup_1^{k-1} E_j \right)$라고 하자. 그러면 각각의 $F_k$는 서로소이고 $\bigcup_1^n F_j=\bigcup_1^n E_j,\ \forall n$이다. 또한 각각의 $j$에 대해서 $F_j \subset E_j$이다. 따라서 다음이 성립한다.
$$ \mu \left( \bigcup \nolimits_1^\infty E_j\right)=\mu \left( \bigcup \nolimits_1^\infty F_j\right)=\sum \limits_1^\infty \mu(F_j) \le \sum \limits_1^\infty\mu(E_j) $$
두번째 등호는 측도의 정의 (c) 에 의해서 성립한다. 마지막 부등식은 (A) 에 의해 성립한다.
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(C)
$E_0:= \varnothing$라고 하자. 그리고 $F_j=E_j\setminus E_{j-1}$라고 하자. 그러면 각각의 $F_j$는 서로소이다. 또한 $\bigcup _1^\infty F_j =\bigcup_1^\infty E_j$이다. 그러면 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \mu \left( \bigcup \nolimits_1^\infty E_j\right) &= \mu \left( \bigcup \nolimits_1^\infty F_j\right) \\ &= \sum_1^\infty \mu(F_j) \\ &= \sum \limits_1^\infty \mu (E_j \setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_1 ^n \mu(E_j\setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mu (E_n) \\ &= \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu (E_j) \end{align*} $$
두번째 등호는 측도의 정의 (c) 에 의해서 성립한다.
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(D)
$F_j=E_1 \setminus E_j$라고 하자. 그러면 $F_1 \subset F_2 \subset \cdots$이다. 또한 $\mu(E_1)=\mu(F_j)+\mu(E_j)$이고, $\bigcup_1^\infty F_j=E_1 \setminus \left( \bigcap_1^\infty E_j \right)$이 성립한다. 그러면 $E_1= \bigcup_1^\infty F_j+\bigcap_1^\infty E_j$이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \mu(E_1) &= \mu \left( \bigcap \nolimits_1^\infty E_j\right) + \mu \left( \bigcup \nolimits _1^\infty F_j \right) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_1^\infty E_j\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu ( F_j ) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_1^\infty E_j\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\big[ \mu ( E_1 )-\mu (E_j) \big] \\ &= \mu ( E_1 )+ \mu \left( \bigcap \nolimits_1^\infty E_j\right) -\lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_j) \end{align*} $$
두번째 등호는 (C) 에 의해서 성립한다. $\mu(E_1) < \infty$이므로 다음을 얻는다.
$$ \mu \left( \bigcap \nolimits_1^\infty E_j\right) = \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_j) $$
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