미분기하학에서 가우스 공식

미분기하학에서 가우스 공식

정리1

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. $(u_{1}, u_{2})$를 $U$의 좌표라고 하자.

$\mathbf{n}$을 단위 노멀, $L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$을 제2 기본 형식의 계수, $\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}$을 크리스토펠 심볼이라고 하자.

그러면 다음이 성립한다.

(a) 가우스 공식Gauss’s formulas:

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} $$

(b) 임의의 단위 속력 곡선 $\alpha(s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)$에 대해서,

$$ \kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} u^{\prime}_{i} u^{\prime}_{j} $$

그리고

$$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{k=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime} \right] \mathbf{x}_{k} $$

이때 $\kappa_{n}$은 법곡률, $\kappa_{g}$는 측지곡률, $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$이다.

설명

사실 (a)는 그 자체가 $L_{ij}$$\Gamma_{ij}^{k}$의 정의이다.

(a)의 결과로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle = \sum \limits_{k=1}^{2}\Gamma_{ij}^{k}g_{kl} $$

이를 제1 크리스토펠 심볼이라고 한다.

증명

(a)

단위 노멀은 탄젠트 공간에 수직하고, $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$는 탄젠트 공간의 기저이므로 $\left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$은 $\R^{3}$의 기저가 된다. 그러면 $\R^{3}$의 모든 벡터는 이들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 이제 $\mathbf{x}_{ij}$를 다음과 같이 나타내자.

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} $$

따라서, $\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{n} \right\rangle=0$ 이므로, 제2기본형식계수의 정의에 의해

$$ L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle = \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\rangle = a_{ij} $$

또한 리만 메트릭의 계수는 $g_{ij} := \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$와 같이 정의되므로,

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle =&\ \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle + {b_{ij}}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} g_{1l} + {b_{ij}}^{2} g_{2l} \\ &= \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml} \\ &= {b_{ij}}^{m} g_{ml} \quad (\text{Einstein notation}) \end{align*} $$

따라서, $[g^{lk}]$는 $[g_{ij}]$의 역행렬이므로, 다음의 식이 성립한다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} $$

좌변을 모든 $l$에 대해서 더하면 크리스토펠 심볼이다. 리만 메트릭에 대해서 $g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}$이 성립하므로,

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{l=1}^{2} \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} {\delta_{m}}^{k} = {b_{ij}}^{k} $$

그러므로

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{ij} =&\ a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + {\Gamma_{ij}}^{1} \mathbf{x}_{1} + {\Gamma_{ij}}^{2} \mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

(b)


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p104-105 ↩︎

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