가우스 구적법

가우스 구적법


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$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하고 $[a,b]$ 를 $a = x_{1} < \cdots < x_{n} = b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. $$ \displaystyle I_{n} (f) := \sum_{j=1}^{n} w_{j} f ( x_{j} ) \approx \int_{a}^{b} w(x) f(x) dx = I ( f ) $$ 위와 같이 정의된 $I_{n}$ 의 가중치 $w_{j}$ 들을 구해서 수치적 적분을 계산하는 것을 가우스 구적법이라 한다. $f$ 를 잘 근사하는 다항함수 $p_{n-1}$ 이 존재하는 것은 보장되어있기 때문에, $f$ 대신 $p_{n-1}$ 을 생각해보려 한다. 편의상 $w(x) = 1$ 이라고 두자. [ NOTE: 이 경우, 가우스-르장드르 구적법이라 한다. ] $$ \displaystyle E_{n} ( p_{n-1} ) : = \int_{a}^{b} p_{n-1} (x) dx - \sum_{j=1}^{n} w_{j} p_{n-1} ( x_{j} ) $$ 이렇게 정의된 에러 $E_{n}$ 은 리니어하므로 $$ \begin{align*} E_{n} ( p_{n-1} ) =& E_{n} \left( a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right) \\ =& a_{0} E_{n} \left( 1 \right) + a_{1} E_{n} \left( x \right) + \cdots + a_{n-1} E_{n} \left( x^{n-1} \right) \end{align*} $$ 여기서 $a_{0} , a_{1} , \cdots , a_{n-1}$ 이 무엇이든 $w_{j}$ 를 잘 찾아서 $E_{n} ( p_{n-1} ) = 0$ 이 되게 하려면 모든 $i=0,1, \cdots , (n-1)$ 에 대해 $$ \displaystyle E_{n} ( x^{i} ) = \int_{a}^{b} x^{i} dx - \sum_{j=1}^{n} w_{j} x_{j}^{i} = 0 $$ 이어야하고, 풀어서 써보면 $$ \displaystyle w_{1} + \cdots + w_{n} = \int_{a}^{b} 1 dx $$

$$ \displaystyle w_{1} x_{1} + \cdots + w_{n} x_{n} = \int_{a}^{b} x dx $$

$$ \displaystyle w_{1} x_{1}^{2} + \cdots + w_{n} x_{n}^{2} = \int_{a}^{b} x^{2} dx $$

$$ \vdots $$

$$ \displaystyle w_{1} x_{1}^{n-1} + \cdots + w_{n} x_{n}^{n-1} = \int_{a}^{b} x^{n-1} dx $$ 행렬로 나타내보면 $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int_{a}^{b} 1 dx \\ \int_{a}^{b} x dx \\ \vdots \\ \int_{a}^{b} x^{n-1} dx \end{bmatrix} $$ 여기서 $w_{1}, \cdots , w_{n}$ 의 존재성은 방데르몽드 행렬식에 의해 보장된다.

가우스 구적법의 장점은 뉴턴-코테스 적분 공식과 달리 노드가 제멋대로 있어도 상관 없다는 것이다.

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