수치적으로 이상적분을 계산하기 위한 가우스 구적법

수치적으로 이상적분을 계산하기 위한 가우스 구적법

Gaussian Quadrature to Calculate Numerically Improper Integration

정의 1

가우스-체비셰프 구적법

$$ \int_{-1}^{1} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ \pi } \over { n }} $$ 여기서 $x_{i}$ 들은 $T_{n}(x) = 0$ 를 만족하는 체비셰프 노드다.

가우스-라게르 구적법

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ x_{i} } \over { (n+1)^2 \left[ L_{n+1} (x_{i} ) \right]^2 }} $$ 여기서 $x_{i}$ 들은 $L_{n}(x) = 0$ 를 만족하는 라게르 노드다.

가우스-에르미트 구적법

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ 2^{n-1} n! \sqrt{ \pi } } \over { n^2 \left[ H_{n-1} (x_{i} ) \right]^2 }} $$ 여기서 $x_{i}$ 들은 $H_{n} (x) = 0$ 를 만족하는 에르미트 노드다.

설명

가우스 구적법은 그 자체로 아주 탁월할뿐 아니라, 노드를 잘 고름으로써 적분범위가 무한하게 주어져도 계산을 수행해낼 수 있다.

이상적분은 필요한데 $f$ 에 $\displaystyle {{ 1 } \over { \sqrt{1-x^2} }}$, $e^{-x}$, $e^{-x^2}$ 가 포함되어있지 않다면 다음과 같이 $g$ 를 만드는 트릭을 쓰면 된다. $$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} f(x) dx =& \int_{0}^{\infty} f(x) e^{x} e^{-x} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} g(x) e^{-x} dx \end{align*} $$ 한편 가우스-체비셰프 구적법의 모티브를 살펴보자. 체비셰프 노드는 다음과 같이 주어진다. $$ x_{i} = \cos \left( {{ 2i-1 } \over { 2n }} \pi \right) $$ 물론 이 노드들은 이산적이지만, 연속적으로 보면 $\displaystyle x = \cos \left( \pi t \right)$ 과 같이 변수 치환으로 받아들일 수 있다. $$ \begin{align*} dx =& - \pi \sin \pi t dt \\ =& - \pi \sqrt{1 - x^2 } dt \end{align*} $$ 이와 같이 치환 적분을 해보면 $$ \begin{align*} \int_{-1}^{1} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) dx =& - \pi \int_{1}^{0} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) \sqrt{1 - x^2 } dt \\ =& \pi \int_{0}^{1} f \left( \cos ( \pi t ) \right) dt \\ \approx & \pi {{ 1 } \over { n }} \sum_{i=1}^{n} f \left( \cos \left( {{ 2 i - 1 } \over { 2n }} \pi \right) \right) \end{align*} $$ 물론 이는 정확한 유도가 아니며 딱히 가우스 구적법이랑도 상관 없는 이야기다. 위의 수식 전개는 특별한 노드를 고른다는 아이디어가 사실 치환과 비슷할 수 있다는 점을 확인하기 위함일 뿐이다.


  1. Atkinson. (1989). An Introduction to Numerical Analysis(2nd Edition): p308. ↩︎

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