가우스 곡률과 평균 곡률 📂기하학

가우스 곡률과 평균 곡률

Gaussian Curvature and Mean Curvature

정의1

곡면 $M$ 위의 점 $p$에서의 주곡률을 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$라고 하자. $L$을 바인가르텡 맵이라 하자. 가우스 곡률Gaussian curvature $K$를 다음과 같이 정의한다.

$$ K := \kappa_{1} \kappa_{2} = \det L = \det ([{L^{i}}_{j}]) $$

이때 ${L^{i}}_{j} = \sum \limits_{k} L_{kj}g^{ki}$이다.

평균 곡률mean curvature $H$를 다음과 같이 정의한다.

$$ H := \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \dfrac{\trace{L}}{2} $$

$\trace{L}$은 선형변환 $L$의 트레이스이다.

설명

정리 3.에 의해 평균 곡률은 실제로 법곡률의 평균임을 알 수 있다.

곡면 $M$ 위의 모든 점 $p$에서 $H=0$이면, $M$을 극소 곡면minimal surface라고 한다. 극소 곡면이란 작은 영역을 조금 바꾸었을 때, 곡면의 표면적이 항상 증가하는 곡면을 말한다. 쉬운 예로 평면이 있다. 평면의 어느 부분을 조금 바꾸면(빳빳하게 펴진 천의 어느 부분을 손가락으로 누르는 상상을 해보자) 그 넓이는 반드시 커지게 되어있다.

정리

  1. $H^{2} \ge K$가 성립한다.

  2. $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$가 $p$에서의 정규직교 벡터들이라고하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ H = \dfrac{1}{2}\left( II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) \right) $$

  1. $\mathbf{Y} \in T_{p}M$을 단위 탄젠트 벡터, $\kappa_{n}$을 법곡률이라 하자. $\theta$를 주방향 $\mathbf{X}_{1}$과 $\mathbf{Y}$사이의 각도라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ H = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta $$

증명

3.

$\kappa_{n} = II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y})$이고, $II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta$이므로,

$$ \begin{align*} \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta &= \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta d\theta \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} d\theta + \kappa_{2} \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta d\theta \right) \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \pi + \kappa_{2} \pi \right) \\ &= \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} \\ &= H \end{align*} $$

(삼각함수 적분표 $(2), (3)$ 참고)


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p130 ↩︎

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