게이지 변환

게이지 변환

gauge transformation

개요1

어떤 스칼라전위 $V$와 벡터전위 $\mathbf{A}$는 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$를 유일하게 결정하지만 역은 성립하지 않는다. 다시말해 하나의 전자기장 $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$를 표현하는 전위 $V$, $\mathbf{A}$는 여러개가 존재한다는 말이다. 따라서 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$가 변하지 않는 내에서는 $V$와 $\mathbf{A}$를 얼마든지 바꿔도 상관없다. 

게이지 변환

똑같은 전기장, 자기장을 만드는 두 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$),  ($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)가 있다. 이 때 $ \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$,  $V^{\prime}=V+\beta$라고 하자. 두 벡터 전위 $\mathbf{A}$, $\mathbf{A}^{\prime}$가 같은 자기장 $\mathbf{B}$를 만들어내므로

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}^{\prime} $$

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$ 임을 이용하면 아래와 같다.

$$ \nabla \times \mathbf{A}^{\prime} = \nabla \times (\mathbf{A}+\mathbf{\alpha}) = \nabla\times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{\alpha}  = \nabla \times \mathbf{A} $$

$$ \implies \nabla \times \mathbf{\alpha}=0 $$

$\mathbf{\alpha}$의 회전이 $0$이므로 $\alpha$는 어떤 스칼라 함수 $\lambda$의 그래디언트로 나타낼 수 있다. 

$$ \mathbf{\alpha}=\nabla \lambda $$

두 스칼라 전위 $V$, $V^{\prime}$에 대해서도 같은 방식으로 계산할 수 있다. 두 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$), ($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)이 같은 전기장 $\mathbf{E}$를 만들어내므로

$$ \begin{align*} \mathbf{E}^{\prime} &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ &= -\nabla V^{\prime} -\frac{\partial \mathbf{A}^{\prime}}{\partial t} \\ &= -\nabla(V+\beta)-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \\ &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla \beta –\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \end{align*} $$

따라서 $-\nabla \beta –\dfrac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t}= 0$이고, $\mathbf{\alpha}=\nabla \lambda$이므로

$$ \nabla \left( \beta + \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right)=0 $$

$\nabla$는 위치에 대한 미분이고 결과가 $0$이므로 괄호속의 양은 위치에 무관하다. 따라서 이를 시간에 대한 함수 $k(t)$라고 하면,  $\beta = -\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)$이다. 여기서 식에 변형을 주어 새로운 $\Lambda$에 대한 식으로 나타내면 $$ -\frac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)=-\frac{\partial}{\partial t} \left[ \lambda - \int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right]=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$ 두번째 등식에서 미분적분학의 기본정리가 쓰였다. 이렇게 나타낼 수 있는 이유는 $\lambda$와 $\Lambda$의 기울기가 같기 때문이다.

$$ \nabla \Lambda = \nabla \left\{ \lambda -\int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right\} =\nabla \lambda - \nabla \int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} =\nabla \lambda = \mathbf{\alpha} $$

최종적으로 정리하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{A} +\nabla \Lambda \\ V^{\prime}=V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$

위의 식이 가지는 의미는 다음과 같다.

전기장 $\mathbf{E}$, 자기장 $\mathbf{B}$를 만드는 한 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$)가 있다. 이 때 어떤 스칼라 함수 $\Lambda$에 대해서 $\nabla \Lambda$를 $\mathbf{A}$에 더해주고 $\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t}$를 $V$에 빼주어 만든 새로운 전위 $(V^{\prime}, \mathbf{A}^{\prime}) = (V-\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t},\ \mathbf{A}+\nabla \Lambda)$도 기존의 전위와 같은 전기장 $\mathbf{E}$, 자기장 $\mathbf{B}$를 만든다. 즉, 조건을 잘 맞춰주기만 하면 전위를 변화시키도 전자기장은 바뀌지 않는다.. 이렇게 전위를 바꿔주는 것을 게이지 변환gauge transformation이라고 한다. 변환을 이용하여 복잡한 식을 계산이 쉽게 바꾸는 것이 가능하다.

같이보기


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p474-475 ↩︎

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