📂전자기학

게이지 변환

gauge transformation

개요¹

어떤 스칼라전위 $V$와 벡터전위 $\mathbf{A}$는 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$를 유일하게 결정하지만 역은 성립하지 않는다. 다시말해 하나의 전자기장 $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$를 표현하는 전위 $V$, $\mathbf{A}$는 여러개가 존재한다는 말이다. 따라서 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$가 변하지 않는 내에서는 $V$와 $\mathbf{A}$를 얼마든지 바꿔도 상관없다. 

게이지 변환

똑같은 전기장, 자기장을 만드는 두 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$),  ($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)가 있다. 이 때 $ \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$,  $V^{\prime}=V+\beta$라고 하자. 두 벡터 전위 $\mathbf{A}$, $\mathbf{A}^{\prime}$가 같은 자기장 $\mathbf{B}$를 만들어내므로

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}^{\prime} $$

$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A} + \mathbf{\alpha}$ 임을 이용하면 아래와 같다.

$$ \nabla \times \mathbf{A}^{\prime} = \nabla \times (\mathbf{A}+\mathbf{\alpha}) = \nabla\times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{\alpha}  = \nabla \times \mathbf{A} $$

$$ \implies \nabla \times \mathbf{\alpha}=0 $$

$\mathbf{\alpha}$의 회전이 $0$이므로 $\alpha$는 어떤 스칼라 함수 $\lambda$의 그래디언트로 나타낼 수 있다. 

$$ \mathbf{\alpha}=\nabla \lambda $$

두 스칼라 전위 $V$, $V^{\prime}$에 대해서도 같은 방식으로 계산할 수 있다. 두 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$), ($V^{\prime}$, $\mathbf{A}^{\prime}$)이 같은 전기장 $\mathbf{E}$를 만들어내므로

$$ \begin{align*} \mathbf{E}^{\prime} &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ &= -\nabla V^{\prime} -\frac{\partial \mathbf{A}^{\prime}}{\partial t} \\ &= -\nabla(V+\beta)-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \\ &= -\nabla V – \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla \beta –\frac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t} \end{align*} $$

따라서 $-\nabla \beta –\dfrac{\partial \mathbf{\alpha}}{\partial t}= 0$이고, $\mathbf{\alpha}=\nabla \lambda$이므로

$$ \nabla \left( \beta + \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right)=0 $$

$\nabla$는 위치에 대한 미분이고 결과가 $0$이므로 괄호속의 양은 위치에 무관하다. 따라서 이를 시간에 대한 함수 $k(t)$라고 하면,  $\beta = -\dfrac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)$이다. 여기서 식에 변형을 주어 새로운 $\Lambda$에 대한 식으로 나타내면 $$ -\frac{\partial \lambda}{\partial t}+k(t)=-\frac{\partial}{\partial t} \left[ \lambda - \int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right]=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$ 두번째 등식에서 미분적분학의 기본정리가 쓰였다. 이렇게 나타낼 수 있는 이유는 $\lambda$와 $\Lambda$의 기울기가 같기 때문이다.

$$ \nabla \Lambda = \nabla \left\{ \lambda -\int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} \right\} =\nabla \lambda - \nabla \int_0^t{k(t^{\prime})}dt^{\prime} =\nabla \lambda = \mathbf{\alpha} $$

최종적으로 정리하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{A} +\nabla \Lambda \\ V^{\prime}=V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$

위의 식이 가지는 의미는 다음과 같다.

전기장 $\mathbf{E}$, 자기장 $\mathbf{B}$를 만드는 한 쌍의 전위 ($V$, $\mathbf{A}$)가 있다. 이 때 어떤 스칼라 함수 $\Lambda$에 대해서 $\nabla \Lambda$를 $\mathbf{A}$에 더해주고 $\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t}$를 $V$에 빼주어 만든 새로운 전위 $(V^{\prime}, \mathbf{A}^{\prime}) = (V-\dfrac{\partial \Lambda}{\partial t},\ \mathbf{A}+\nabla \Lambda)$도 기존의 전위와 같은 전기장 $\mathbf{E}$, 자기장 $\mathbf{B}$를 만든다. 즉, 조건을 잘 맞춰주기만 하면 전위를 변화시키도 전자기장은 바뀌지 않는다.. 이렇게 전위를 바꿔주는 것을 게이지 변환^{gauge transformation}이라고 한다. 변환을 이용하여 복잡한 식을 계산이 쉽게 바꾸는 것이 가능하다.

같이보기

• 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지