갈루아체

갈루아체

정의 1

소수 $p$ 와 자연수 $n$ 에 대해 기수가 $p^{n}$ 인 유한체를 $p^{n}$ 차 갈루아체Galois Field라 정의하고 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$ 와 같이 나타낸다.

정리

유한체는 갈루아체 뿐이고, 주어진 $p$ 와 $n$ 에 대해 갈루아체는 유일하게 존재한다.


설명

가우스가 처음 유한체의 개념을 떠올렸을 때만해도 그 실체를 믿는 사람은 없었다고 하지만, 현재는 유한체가 존재할뿐만 아니라 유일하면서 그 구체적인 형태까지 밝혀져있다. 모든 유한체의 형태를 규명했기 때문에 쓸데 없는 연구를 할 필요가 없다.

예를 들어 원소가 $10$ 개인 체가 존재하는지는 고민할 필요조차 없으며, $\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p}$ 는 정수환이기 때문에 이미 우리가 많은 것을 알고 있다. 더 궁금한 점이 있다면 추상적인 정의에 매달릴 필요 없이 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 통해 접근하면 되고, 그 반대도 마찬가지다.

증명 2

Part 1. 모든 유한체는 갈루아체다.

$F$ 의 유한확대체를 $E$ 라 하고 $F$ 상에서의 차수를 $n := \left[ E : F \right]$ 이라 두자.

$| F | = q$ 이라고 하면 $E$ 는 $F$ 의 $n$ 차 벡터공간이므로 $|E| = q^{n}$ 이다. 체는 단위원을 가지는데, 표수가 $0$ 이면 $\mathbb{Z}$ 와 동형인 부분환이 존재해서 무한체가 된다. 따라서 유한체의 표수는 유한한 자연수여야한다. 유한체 $E$ 의 표수를 $p \ne 0$ 라고 하면 $E$ 는 단위원 $1$ 을 가지므로 $p \cdot 1 = 0$ 이어야한다. 체는 정역이므로 $$ p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 $$ 을 만족하는 $p_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z}$ 가 존재할 수 없으며, $p$ 는 반드시 소수다. 따라서 $E$ 는 소체 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 동형인 부분체를 가지며, $\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p$ 이므로 $|E| = p^{n}$ 다.


Part 2. 갈루아체의 존재성

Part 2-1.

$\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 영표수가 $p$ 인 체 $F$ 의 대수적 폐포 $\overline{F}$ 를 생각해보자.

$\overline{F}$ 는 대수적으로 닫혀있으므로, $\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ]$ 는 $1$ 차항으로 인수분해된다. 당장 알 수 있는 사실은 $$ x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) $$ 이므로 $0$ 은 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 이 된다. $f(x) := x^{p^{n}-1} - 1$ 의 또 다른 영 $\alpha$ 을 생각해보면 $$ f(x) = (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) $$ 한편 $$ g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) $$ 이라고 했을때 항의 갯수는 $p^{n} - 1$ 개다. 따라서 $$ \displaystyle g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) $$ 위에서 $\alpha \ne$ 는 $f(X)$ 의 영이었으므로 $\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0$ 이고, 표수를 $p$ 라고 가정했으므로 $$ \displaystyle g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \ne 0 $$ 따라서 $\alpha$ 는 $f(x) = 0$ 의 중근이 아니며, 이는 $\alpha$ 가 아닌 다른 영에 대해서도 같다. 결국 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 는 정확히 $p^{n}$ 개의 서로 다른 영을 갖는다.

Part 2-2. 신입생의 꿈

한편 $\alpha , \beta \in F$ 에 대해서 $\left( \alpha + \beta \right)^{p}$ 을 계산해보면 이항정리에 의해 $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} $$ $F$ 의 표수가 $p$ 이므로 마지막 항은 $0$ 이 되고, 따라서 $$ \displaystyle \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} $$ 한 번 더 양변에 $p$ 승을 취하면 $$ \displaystyle \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} $$ 정리하면 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2} $ 이고, 이를 $n$ 번 반복하면 다음을 얻는다. $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$

이제 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 대수적 폐포 $\overline{ \mathbb{Z}_{p} }$ 를 생각해보자.

$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ]$ 의 영을 모두 모두 모아놓은 집합을 $K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } $, 그리고 그 원소를 $\alpha , \beta \in K$ 라고 두자.

Part 2-3. $K$ 는 갈루아체다.

따라서 $K$ 는 $p^{n}$ 차 갈루아체다.


Part 3. 갈루아체의 유일성

$E$ 가 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 소체로 갖는다고 해보면 이들은 Part 1에 따라 $|E| = p^{n}$ 을 만족하는 갈루아체다. 이미 Part 2에서 존재성을 보일 때 $E$ 의 모든 원소는 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 영임을 확인했으므로, $E$ 는 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 최소분열체다.

최소분열체의 성질: $f(x) \in F [ x ]$ 의 최소분열체는 모두 동형이다.

최소분열체의 성질에 따라, 주어진 $p$ 와 $n$ 에 대해서 갈루아체는 유일하다.

보조정리

그냥 알아두면 재미있는 사실로써, Part 2-2에서 등장한 등식 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$ 를 신입생의 꿈Freshman’s Dream이라 부른다. 이제 막 학교에 들어온 신입생 입장에서 거듭제곱이 괄호 속으로 들어갈 수 있다면 복잡한 전개 없이도 어려운 문제를 풀 수 있기 때문이다. 참고로 정수론에서는 표수에 대한 언급이 없더라도 합동식 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p }$ 을 같은 방법으로 유도할 수 있다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p300. ↩︎

  2. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p302~304. ↩︎

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