추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리

추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리

fundamental theorem of algebra in terms of abstract Algebra

정의 1

$F$ 의 확대체를 $E$ 라고 하자.

  1. $F [ x ]$ 의 모든 다항함수가 $F$ 에서 영을 가지면 $F$ 를 대수적으로 닫혀있다Algebraically Closed고 한다.
  2. $\overline{ F_{E}} : = \left\{ \alpha \in E \mid \alpha \text{ is algebraic over } F \right\}$ 를 $E$ 에서 $F$ 의 대수적 폐포Algebraic Closure라 한다.

정리

  • [1]: $F$ 가 대수적으로 닫혀있다 $\iff$ 모든 $f(x) \in F [ x ]$ 는 $F [ x ]$ 의 $1$ 차항들로 인수분해된다.
  • [2]: 대수적으로 닫힌 $F$ 에 대해 $F \lneq E$ 를 만족하는 대수적 확대체 $E$ 는 존재하지 않는다.
  • [3]: 대수적 수들의 집합은 체를 이룬다.
  • [4]: $\overline{ F_{E}}$ 는 $E$ 의 부분체다.
  • [5]: 모든 체는 대수적 폐포를 가진다.

  • 여기서 다항함수란 당연히 상수함수를 제외한 다항함수를 의미한다.

설명

$\overline{F}$ 는 $E$ 까지 확장했을 때 $F$ 를 커버하면서 우리가 대수적으로 얻을 수 있는 원소들의 집합까진 모두 취한 집합이다. 위상수학에 어느정도 익숙하다면 $F$ 에 도집합 $F’$ 를 합쳐서 얻은 닫힌 집합 $\overline{F} = F \cup F’$ 의 느낌으로 받아들이면 된다.

이러한 표현들과 정리들을 통해 대수학의 기본정리를 다음과 같이 서술할 수 있다.

복소수체 $\mathbb{C}$ 는 대수적으로 닫혀있다.

이 말을 풀어서 생각해보면 정리 [1]에 의해 복소수를 계수로 갖는 다항함수들이 $\mathbb{C} [ x ]$ 의 $1$ 차항들로 인수분해되는 것이므로, 중근을 포함하면 정확히 최고차항의 차수와 같은 수의 을 갖는 것이 된다. 이것은 곧 우리가 원래 알고 있던 대수학의 기본정리와 동치가 된다.

또한 정리 [2]에 의해 $\mathbb{C}$ 를 진부분집합Proper subset으로 가지는 대수적 확대체가 존재하지 않음을 보장받을 수 있다. 이 말은 곧 $\mathbb{C}$ 보다 더 큰 체를 생각할 이유가 없다는 뜻이며, 사실상 우리가 다루는 체 중에선 $\mathbb{C}$ 가 가장 크다는 식으로 받아들여도 무방하다. 이러한 팩트는 함수해석학 등에서 다룰 벡터 공간에서 스칼라 필드를 그냥 복소수체로 두고 연구하는 것을 정당화해준다.

증명

복소해석으로 증명한다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p286~287. ↩︎

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