기울기의 기본 정리

기울기의 기본 정리

정리

$T$를 3차원 스칼라 함수라고 하자. $a, b$를 3차원 공간상의 임의의 점이라고 하자. $a$에서 점 $b$로 가는 임의의 경로에 따른 $T$의 총 변화량은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} T(b)-T(a) = \int _{a}^{b} (\nabla T) \cdot d\mathbf{l} \label{1} \end{equation} $$

이를 기울기의 기본 정리fundamental theorem for gradients 혹은 기울기 정리gradients theorem라고 한다.


참고로 생새우초밥집에서는 위와 같이 정리이름에서 쓰이는 경우가 아니라 ‘기울기’라는 말이 단독으로 쓰일 땐 ‘그래디언트’로 사용한다.

설명

이 정리의 의미는 $a$에서 $b$로 가는 동안 $T$의 변화량을 계속 더하는 것$\big( \eqref{1}$의 우변$\big)$과 $b$에서의 값과 $a$에서의 값의 차이$\big( \eqref{1}$의 좌변$\big)$가 같다는 점이다. 이로 인해서 두 가지 중요한 점을 알 수 있다.

증명

점 $a$에서 점 $b$까지 가는 경로를 따라 $T$의 미소변화량 $dT$를 전부 더하면 총 변화량이 될 것이다.즉,

$$ \int _{a} ^{b} dT = T(b)-T(a) $$

그런데 그래디언트의 정의에 의해 $dT=(\nabla T) \cdot (d \mathbf{l})$이므로 다음이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b} (\nabla T) \cdot (d\mathbf{l}) = \int _{a}^{b} dT = T(b)-T(a) $$

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