범함수

범함수

정의 1

$X$를 벡터공간이라고 하자. 아래와 같은 $X$에서 $\mathbb{C}$로의 사상 $f$를 범함수functional 라 한다.

$$ f : X \to \mathbb{C} $$

$f$가 선형 작용소이면 선형 범함수라 한다.

설명

한국어로 순화하면 ‘범함수’라서 별 느낌이 없지만 영어로 볼땐 functional이 형용사가 아니라 명사라는 것에 주의해야한다. 또한 범함수汎函數라는 번역은 초함수, 일반화된 함수에서 영향을 받은 것이다.

선형작용소와 구분되는 점은 공역이 $\mathbb{R}$ 혹은 $\mathbb{C}$ 로 정의된다는 차이 뿐이나, 바로 이 차이점 때문에 듀얼 스페이스와 같은 공간을 생각할 가치가 있다. 당장 놈 $\| \cdot \| = \| \cdot \|_{X}$ 는 이미 그 스스로 펑셔널이 되며, 측도론과 연관지어보면 유용할 수밖에 없기 때문이다.

한편 선형 범함수 $f$ 는 커널 $\mathcal{N} (f) = \ker (f) = \left\{ x \in X \ | \ f(x) = 0 \right\} $ 에 대해 다음을 만족한다.

정리

선형 범함수 $f$가 연속이다. $\iff$ $\ker(f)$ 은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

증명

전략: $(\implies)$ 커널의 정의에 따라 직접 연역한다. $(\impliedby)$ 선형 작용소의 성질에 따라 연속성의 필요충분조건은 유계성이다 .$f$ 가 유계라는 걸 보이는 것은 비교적 쉽다.



  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p103~104. ↩︎

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