열물리학에서 상태함수란?

열물리학에서 상태함수란?

정의1

경로에 무관하게 고정된 값을 가지고, 거시적으로 측정 가능한 성질을 상태 함수function of state 혹은 상태 변수variables of state라고 한다.

설명

이를 수학적으로 좀 더 명확하게 말해보자. 3차원에서 값을 갖는 함수 $f(\mathbf{x})$를 생각해보자. $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_{1}=a$에서 $\mathbf{x}=b$로 변할 때, $f$의 값의 차이가 경로에 무관하면 $f$를 상태함수라 한다.

$$ \Delta f = \int _{a} ^{b} df = f(b) - f(a) = \text{constant} $$

이때 $df$는 $f$의 전미분이다. 즉, 전미분으로 표현되는 물리량을 상태함수라 한다. 상태함수의 예로는 부피, 압력, 온도, 내부에너지 등이 있다. 상태함수가 아닌 예로는 계에 행해진 전체 일, 계에 유입된 전체 열 등이 있다.

한편 전미분이 아니면 불완전미분inexact differential이라 한다. 불완전 미분은 $\delta f$ 혹은 $d\! \! \bar{}f$로 표기한다. 가령 2차원에서 정의된 $f = xy$를 생각해보면 전미분 $df$는 다음과 같다.

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y} dy = y dx + x dy $$

여기서 앞의 항만 따로 생각 해보자.

$$ d \! \! \bar{} g = y dx $$

그러면 $dy$에 대한 항이 없으므로 $dg$는 불완전미분이고 위와 같이 $d\!\!\bar{} g$로 표기한다. 그러면 $d\!\!\bar{} g$로 표현되는 물리량은 경로에 따라 다른 값을 가지므로 상태함수가 아니다.

$$ \Delta g = \int _{a} ^{b} d\!\!\bar{} g = \text{not constnat} $$

또한 상태함수들로 표현된 방정식을 상태 방정식equations of state이라 한다. 예로 이상기체 방정식이 있다.

$$ Pv = nRT $$


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p144-146 ↩︎

댓글