열물리학에서 상태함수란?

열물리학에서 상태함수란?

Function of State in Thermal Physics

정의1

경로에 무관하게 고정된 값을 가지고, 거시적으로 측정 가능한 성질을 상태 함수function of state 혹은 상태 변수variables of state라고 한다.

설명

이를 수학적으로 좀 더 명확하게 말해보자. 3차원에서 값을 갖는 함수 $f(\mathbf{x})$를 생각해보자. $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_{1}=a$에서 $\mathbf{x}=b$로 변할 때, $f$의 값의 차이가 경로에 무관하면 $f$를 상태함수라 한다.

$$ \Delta f = \int _{a} ^{b} df = f(b) - f(a) = \text{constant} $$

이때 $df$는 $f$의 전미분이다. 즉, 전미분으로 표현되는 물리량을 상태함수라 한다. 상태함수의 예로는 부피, 압력, 온도, 내부에너지 등이 있다. 상태함수가 아닌 예로는 계에 행해진 전체 일, 계에 유입된 전체 열 등이 있다.

한편 전미분이 아니면 불완전미분inexact differential이라 한다. 불완전 미분은 $\delta f$ 혹은 $d\! \! \bar{}f$로 표기한다. 가령 2차원에서 정의된 $f = xy$를 생각해보면 전미분 $df$는 다음과 같다.

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y} dy = y dx + x dy $$

여기서 앞의 항만 따로 생각 해보자.

$$ d \! \! \bar{} g = y dx $$

그러면 $dy$에 대한 항이 없으므로 $dg$는 불완전미분이고 위와 같이 $d\!\!\bar{} g$로 표기한다. 그러면 $d\!\!\bar{} g$로 표현되는 물리량은 경로에 따라 다른 값을 가지므로 상태함수가 아니다.

$$ \Delta g = \int _{a} ^{b} d\!\!\bar{} g = \text{not constnat} $$

또한 상태함수들로 표현된 방정식을 상태 방정식equations of state이라 한다. 예로 이상기체 방정식이 있다.

$$ Pv = nRT $$


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p144-146 ↩︎

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