프로베니우스 방법

프로베니우스 방법

frobenius method

설명1

미분방정식을 푸는 다양한 방법들이 있다. 그 중 하나로 해를 다음과 같이 멱급수라고 가정하는 것이 있다.

$$ y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} $$

그런데 어떤 급수들은 위의 꼴로 나타낼 수 없다. 예를 들면 다음과 같다.

$$ \frac{\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2!}+\frac{ x^{2}}{4!}-\cdots $$

$$ \sqrt{x} \sin x = x^{\frac{1}{2}}\left( x - \frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right) $$

이런 경우에는 해를 아래와 같은 꼴이라고 가정한다.

$$ \begin{equation} y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r}=x^{r}\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \label{eq1} \end{equation} $$

이때 $r$은 양수, 음수는 물론 유리수도 가능하다. 또한 $a_{0}=0$이면 첫항이 바뀌어서 $r$도 바뀌므로 항상 $a_{0}\ne 0$이라고 가정한다. 급수 $\eqref{eq1}$을 일반화된 멱급수generalized power series라 한다. 해를 일반화된 멱급수로 가정하고 미분방정식을 푸는 방법을 프로베니우스 메소드Frobenius method라고 한다. 프로베니우스 메소드를 쓰는 예로는 베셀 방정식이 있다.


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p219-223 ↩︎

댓글