프레네-세레 공식

프레네-세레 공식

frenet-serret Formula

공식 1

$\alpha$ 가 $\kappa(s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa(s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau(s) N(s) \end{align*} $$

설명

행렬 폼으로 나타내면 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} ^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ - \kappa & 0 & \tau \\ 0 & - \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} $$

유도

보조정리: $n$차원 내적공간 $V$ 에서 $E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 이 직교 집합이라고 하면 $E$ 는 $V$ 의 기저고, 모든 $v \in V$ 에 대해 $$ v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k} $$

내적의 미분법: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

프레네-세레 프레임 $\left\{ T, N, B \right\}$ 는 $\mathbb{R}^{3}$ 의 직교 기저다. 위의 보조정리를 이용해 직접 유도한다.


Part 1. $T^{\prime}(s) = \kappa(s) N(s)$

노멀 벡터의 정의에서 $N(s) = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }}$ 이므로 $$ T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s) $$


Part 2. $N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)$

보조정리에 따라 $$ N^{\prime}(s) = \left< N^{\prime} , T \right> T + \left< N^{\prime} , N \right> N + \left< N^{\prime} , B \right> B $$

  • Part 2-1. $\left< N^{\prime} , T \right> = -\kappa$
    • $\left< N, T \right> = 0$ 이므로 Part 1에 따르면 $$ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , T \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , T \right> + \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , \kappa N \right> = - \kappa \left| N^{2} \right| = - \kappa \cdot 1 \end{align*} $$
  • Part 2-2. $\left< N^{\prime} , N \right> = 0$
    • $N$ 은 단위벡터이므로 $\left| N^{2} \right| = 1$ 이고 양변을 미분하면 $$ \begin{align*} & 0 = 1^{\prime} = \left< N , N \right>^{\prime} = 2 \left< N , N^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N , N^{\prime} \right> = 0 \end{align*} $$
  • Part 2-3. $\left< N^{\prime} , B \right> = \tau$
    • $\left< N, B \right> = 0$ 이므로 토션의 정의 $\tau(s) := - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right>$ 에 따라 $$ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , B \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , B \right> + \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , B \right> = - \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = \tau \end{align*} $$

정리하면 다음을 얻는다. $$ N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) $$


Part 3. $B^{\prime}(s) = - \tau(s) N(s)$

보조정리에 따라 $$ B^{\prime}(s) = \left< B^{\prime} , T \right> T + \left< B^{\prime} , N \right> N + \left< B^{\prime} , B \right> B $$

  • Part 3-1. $\left< B^{\prime} , T \right> = 0$
    • $\left< T, B \right> = 0 = \left< N, B \right>$ 이므로 Part 1에 따라 $$ 0 = \left< T^{\prime}, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \kappa \left< N, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \left< T, B^{\prime} \right> $$
  • Part 3-2. $\left< B^{\prime} , N \right> = -\tau$
    • 토션의 정의와 내적의 대칭성에 따라 $$ \left< B^{\prime} , N \right> = \left< N , B^{\prime} \right> = - \tau $$
  • Part 3-3. $\left< B^{\prime} , B \right> = 0$
    • $\alpha$ 는 단위 스피드 곡선이라 가정했으므로 $B = T \times N$ 역시 단위 벡터다. 그러면 Part 2-2와 마찬가지로 $$ 0 = \left< B^{\prime} , B \right> $$

정리하면 다음을 얻는다. $$ B^{\prime}(s) = - \tau(s) N(s) $$

따름정리

  • 랑크레 정리: $\kappa \ne 0$ 인 단위 스피드 커브 $\alpha$ 가 나선인 것은 어떤 상수 $c \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\tau = c \kappa$ 인 것과 동치다.
  • 단위 스피드 커브 $\alpha$ 의 곡률이 상수 $\kappa > 0$ 고 토션이 $\tau = 0$ 인 것은 $\alpha$ 가 반지름이 $\kappa^{-1}$ 인 원의 호인 것과 동치다.
  • $\alpha$ 가 직선이라는 것은 $\alpha$ 의 모든 접선들이 어떤 $x_{0} \in \mathbb{R}^{3}$ 을 지나는 것과 동치다.
  • $\alpha$ 가 $\kappa \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하자.

$\alpha$ 가 평면 위에 놓이는 것은 모든 접평면 이 평행한 것과 동치다.

  • 단위 스피드 커브 $\alpha$ 의 모든 법평면 이 어떤 고정된 점 $\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{3}$ 을 향하면 $\alpha$ 는 구면 위에 놓인다.

  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p30. ↩︎

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