📂힐베르트공간

힐베르트 공간의 프레임

Frame in Hilbert Space

정의¹

힐베르트 공간 $H$의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$에 대해 다음을 만족하는 $A,B > 0$이 존재하면 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 을 프레임^frame이라 부르고, 특히 $A = B$일 때 이 프레임이 타이트^tight하다고 말한다.

$$ A \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \le \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \forall \mathbf{v} \in H $$

설명

프레임은 베셀 시퀀스와 달리 $A$가 존재해서 $\mathbf{v}$를 위아래로 가두어준다. 특히 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 $H$의 정규직교 기저면 $A=B=1$인 타이트 프레임인 것과 동치다.

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (iv): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$