프랙탈 브라운 운동

프랙탈 브라운 운동

Fractional Brownian motion

정의

$E \left( X_{t} \right) = 0$ 인 $X_{t}$ 가 가우시안 프로세스고 $H \in (0, 1)$ 이라 하자. 프랙셔널 브라우니안 모션Fractional Brownian motion은 다음과 같이 두가지 방법으로 정의될 수 있다.

공분산을 통한 정의 1

$X_{t}$ 의 $t, s$ 시점에서의 공분산이 다음과 같으면 프랙탈 브라운 운동이라 한다. $$ \text{Cov} \left( X_{t}, X_{s} \right) = {{ 1 } \over { 2 }} \left( t^{2H} + s^{2H} - \left| t-s \right|^{2H} \right) $$

조건을 통한 정의 2

$X_{t}$ 가 다음 두 조건을 만족하면 프랙탈 브라운 운동이라 한다.

설명

프랙셔널Fractional이라는 명명은 정의에 언급된 자기유사성을 생각해봤을때 분수Fractional의 의미보다는 프랙탈Fractal에서 유래한 것으로 보는 게 더 적절하기 때문에 프랙탈 브라운 운동으로 순화했다.

$H = 1/2$ 일 때는 정확히 브라우니안 모션이다. 다시 말해, FBM은 완벽하게 표준 BM의 일반화다.


  1. Sottinen. (2003). Fractional Brownian Motion in Finance and Queueing: p7. ↩︎

  2. Yang. (2008). LRD of Fractional Brownian Motion and Application in Data Network: p6~8. ↩︎

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