가우스 함수의 푸리에 변환

가우스 함수의 푸리에 변환

fourier transgorm of gaussian function

공식

가우스 함수 $f(x)=e^{-Ax^2}$의 푸리에 변환 은 다음과 같다.

$$ \mathcal{F}[f] (\xi) = \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} $$

설명

보조정리: 가우스 적분

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-Ax^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{A}} $$

만약 푸리에 변환 $\mathcal{F}$ 가

$$ \left( \mathcal{F} f \right) ( \xi ) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{ - i \xi x } dx $$

가 아닌

$$ \left( \mathcal{F} f \right) ( \gamma ) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{ - 2 \pi i x \gamma } dx $$

와 같이 정의되어 있다고 하면 가우스 함수 $f(x) = e^{-A x^{2}}$ 의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$ \left( \mathcal{F} f \right) (\gamma) = \mathcal{F} \left[ e^{-A x^{2}} \right] (\gamma) = \sqrt{{ \pi } \over { A }} e^{ - {{ \pi^{2} \gamma^{2} } \over { A }}} $$

이 결과들은 정의의 차이에서 달라질 뿐 본질적으로 완전히 같으며, 교재나 논문의 컨벤션에 맞게 쓰면 된다.

증명

푸리에 변환의 정의와 보조정리를 사용하면

$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi) &= \int e^{-Ax^2}e^{-i\xi x}dx \\ &= \int e^{-A(x^2+\frac{i\xi}{A}x) } dx \\ &= \int e^{-A\left[ \left( x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right) - \left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right] } dx \\ &= \int e^{-A\left[ x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right]} e^{ A\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 } dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-A \left( x+\frac{i\xi}{2A} \right)^2} dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-Au^2} du \\ &= \sqrt{ \dfrac{\pi}{A} }e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \end{align*} $$

여섯번째 등호는 $x+\dfrac{i\xi}{2A}=u$로 치환하면 성립한다.

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