디랙 델타 함수의 푸리에 변환
fourier transform of dirac delta function
공식
함수 $f(x)$의 푸리에변환을 $\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}[f] (x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \xi x}dx$라고 하자. 디랙 델타 함수 $\delta (x)$의 푸리에 변환은 다음과 같다.
$$ \hat{\delta}(\xi) = \mathcal{F}[\delta] (\xi) = 1 $$
$\delta(x - y)$의 푸리에 변환은
$$ \mathcal{F}[\delta(\cdot - y)] (\xi) = e^{-i\xi y} $$
설명
푸리에 변환을 어떻게 정의하느냐에 따라서 앞의 상수는 $1$ 혹은 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 등이 될 수 있다.
증명
델타 함수의 성질 $f(x_{0}) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x - x_{0})dx$에 의해,
$$ \begin{align*} \mathcal{F}[\delta] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=0} \\ &=1 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \mathcal{F}[\delta(\cdot - y)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-y)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=y} \\ &= e^{-i\xi y} \end{align*} $$
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