B-스플라인의 푸리에 변환

B-스플라인의 푸리에 변환

공식1

오더가 $m \in \mathbb{N}$인 B-스플라인 $N_{m}$의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$ \widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} $$

이때 $f$의 푸리에 변환 $\widehat{f}$의 정의는 다음과 같다.

$$ \widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\gamma}dx $$

설명

B-스플라인, 푸리에 변환, 컨볼루션의 성질을 이용하여 어렵지 않게 계산할 수 있다.

증명

우선 $N_{1}$의 푸리에 변환을 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F}N_{1}(\gamma) =&\ \int _{-\infty} ^{\infty} N_{1}(x)e^{-2\pi i x \gamma }dx \\ =&\ \int_{0}^{1} e^{-2\pi i x \gamma}dx \\ =&\ \left[\frac{e^{-2\pi i x\gamma} }{-2\pi i \gamma} \right]_{x=0}^{1} \\ =&\ \frac{1-e^{2\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \end{align*} $$

B-스플라인의 정의에 의해 $N_{m}=\overbrace{N_{1} * N_{1} * \cdots * N_{1}}^{m}$이고 푸리에 변환의 성질에 의해

$$ \mathcal{F}\left[ f_{1} * f_{2}*\cdots * f_{n} \right]=\hat{f_{1}} \hat{f_{2}} \cdots \hat{f_{n}} $$

가 성립하므로,

$$ \begin{align*} \mathcal{F} N_{m}(\gamma) =&\ \mathcal{F} \left[ \overbrace{ N_{1} * N_{1} * \cdots * N_{1} }^{m} \right] (\gamma) \\ =&\ \overbrace{ \widehat{N_{1}}(\gamma)\widehat{N_{1}}(\gamma)\cdots\widehat{N_{1}}(\gamma) }^{m} \\ =&\ \left( \widehat{N_{1}}(\gamma) \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \end{align*} $$


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p206 ↩︎

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