푸리에 슬라이스 정리

푸리에 슬라이스 정리

정리

$f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \mathcal{F}_2 f(\xi \cos\theta,\ \xi \sin\theta)=\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(\xi ,\ \theta) \label{thm1} \end{equation} $$

여기서 $\mathcal{F}$는 1차원 푸리에 변환, $\mathcal{F}_2$는 2차원 푸리에 변환, $\mathcal{R}$은 라돈 변환을 의미한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F}f (y) &= \int f(x) e^{-i xy } dx \\ \mathcal{F}_{2} f (y_{1}, y_{2}) &= \int \int f(x_{1}, x_{2}) e^{-i (x_{1}, x_{2}) \cdot (y_{1}, y_{2})} dx_{1} dx_{2} \\ \mathcal{R}f(s,\theta) &= \int_{t =-\infty}^{\infty} f\big( s\cos\theta-t\sin\theta,\ s\sin\theta + t\cos\theta \big) dt \end{align*} $$

설명

프로젝션 슬라이스 정리projection slice theorem 혹은 센트럴 슬라이스 정리central slice theorem라고도 불린다.

증명

$\eqref{thm1}$의 좌변을 계산해보면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{F}_2 f(\xi \cos\theta,\ \xi \sin\theta) &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-i(\xi \cos\theta \cdot x +\xi \sin\theta \cdot y) }dxdy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-i \xi (x\cos\theta +y\sin\theta ) }dxdy \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

그리고 평면위의 점을 아래 그림과 같이 극좌표로 나타내기 위해서 아래 그림과 같이 치환하자.

5CF9E0040

$$ s=x\cos\theta + y\sin\theta \\ t=-x\sin\theta+y\cos\theta $$

그러면

$$ x=s\cos\theta-t\sin\theta \\ y=s\sin\theta + t \cos \theta $$

그리고 $dxdy=dsdt$이므로 $\eqref{eq1}$에 대입하면

$$ \begin{align*} \mathcal{F}_2 f( \xi \cos\theta,\ \xi \sin\theta) &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\theta-t\sin\theta,\ s\sin\theta + t \cos \theta)e^{-i\xi s}dtds \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\theta-t\sin\theta,\ s\sin\theta + t \cos \theta)dt \right)e^{-i \xi s} ds \\ &= \int_{-\infty} ^{\infty} \mathcal{R}f(s,\ \theta) e^{-i\xi s} ds \\ &= \mathcal{F} \mathcal{R}f(\xi,\ \theta) \end{align*} $$

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