편미분 방정식 풀이를 위한 푸리에 급수 📂편미분방정식

편미분 방정식 풀이를 위한 푸리에 급수

fourier Series

정의

힐베르트 공간의 함수 $f \in \mathcal{L}^{2} [- \pi , \pi] $ 에 대해 $\displaystyle a_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx$ 그리고 $\displaystyle b_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx$ 에 대해

$$ f(x) \sim {{a_{0}} \over {2}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \cos kx + b_{x} \sin kx \right) $$

를 $f$ 의 푸리에 급수Fourier series라 한다.

설명

테일러 급수가 어떤 함수를 다항식으로 근사시키는 것과 달리 푸리에 급수는 삼각다항식으로 근사시킨다. 이렇듯 복잡한 모양을 가진 푸리에 급수는 기존의 테일러 급수로 접근하기 힘든 온갖 함수에 적용할 수 있어 유용하다. 그러나 푸리에 급수는 수렴하는지에 대한 보장이 없으며, 수렴함을 보이더라도 정확히 $f$ 로 수렴할지는 별개의 문제다.학부 수준의 편미분방정식의 풀이를 위해서 이러한 이슈는 일단 제쳐두지만 이런 결함에 대해 알고는 있어야한다.

이하 편의상 $\sim$ 대신 $=$ 을 사용하도록 하겠다.푸리에 급수를 하필 저런 모양으로 정의하는 이유를 한번 살펴보도록 하자. $\mathcal{L}^2$ 은 $\mathcal{L}^{p}$ 에서 $p=2$ 인 경우이므로, $f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 내적과 놈을 정의할 수 있다.

$$ \left< f, g \right> := {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx } $$

기함수 $\sin k x$ 와 우함수 $\cos k x$ 는 $k \ne l$ 에 대해 $\displaystyle \left< \cos kx , \cos lx \right> = \left< \sin kx , \cos lx \right> = 0$ 이다. 물론 $k = l$ 에 대해서도 $\displaystyle \left< \cos lx , \sin lx \right> = \left< \sin lx , \cos lx \right> = 0$ 이다. 삼각함수끼리의 내적에서 $0$ 이 되지 않는 경우는 $\displaystyle \left< \cos lx , \cos lx \right> \ne 0 \ne \left< \sin lx , \sin lx \right>$ 뿐이다.

위의 사실을 이용해서 $\left< f, \cos lx \right> f$ 를 계산해보면 내적의 선형성에 의해

$$ \left< f, \cos lx \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1 , \cos lx \right> + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \left< \cos kx , \cos lx \right> + b_{x} \left< \sin kx , \cos lx \right> \right) = a_{l} $$

을 얻는다. 비슷하게 $\left< f , \sin lx \right> = b_{l}$ 를 얻을 수 있고,

$$ \left< f , 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1, 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left\| 1 \right\| ^2 = {{a_{0}} \over {2}} $$

이다.

$f$ 를 삼각다항식으로 근사시키는 것은 $f$ 를 삼각함수들의 벡터 공간으로 사영 시킨것이다. 선형대수의 센스에서 각 항들에 대해 생각해보면 그 모양은 $\left< f(x) , \cos nx \right> \cos nx$ 혹은 $\left< f(x) , \sin nx \right> \sin nx$ 으로써, 함수 $f$ 를 기저 $\left\{ \cos nx , \sin nx \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 로 사영시킨 것으로 볼 수 있다.

우함수와 기함수의 성질을 이용하면 이뿐만이 아니라 아래의 공식을 통해 계산을 많이 줄일 수 있다.

$f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ]$ 가 우함수면 $\displaystyle a_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \cos kx dx$ 에 대해

$$ f(x) \sim {{a_{0 } } \over {2 }} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos kx $$

$f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ]$ 가 기함수면 $\displaystyle b_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \sin kx dx$ 에 대해

$$ f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin kx $$

한편 $f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같은 정의를 도입하면 복소수로의 일반화가 가능하다.

$$ \left< f, g \right> := {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{ g(x) } dx $$

$$ \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx } $$

$$ f(x) \sim \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{ikx} = \cdots +c_{-2}e^{-i 2 x } + c_{-1}e^{-i x } + c_{0} +c_{1}e^{i x } + c_{2}e^{i 2 x } + \cdots $$

$$ c_{k} = \left<f , e^{ikx} \right> = {{1} \over {2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx} dx $$

오일러의 공식에서 $\displaystyle \cos kx = {{e^{ikx} + e^{-ikx} } \over {2}}$ 그리고 $\displaystyle \sin kx = {{e^{ikx} - e^{-ikx} } \over {2i}}$ 이므로

$$ \begin{align*} c_{k} + c_{-k} =& {{1 } \over {2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \left(e^{ikx} + e^{-ikx} \right) dx \\ =& {{1 } \over { 2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 2 \cos kx dx \\ =& {{1 } \over { \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx \\ =& a_{k} \end{align*} $$

비슷하게 $b_{k} = i (c_{k} - c_{-k})$ 을 얻을 수 있다.

따라서 겉보기엔 표준화 상수가 바뀐 것 같지만 실제로는 $f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$ 를 제대로 커버함을 알 수 있다. 보다시피 이러한 기술들을 대략적으로나마 이해하기 위해서는 선형대수학, 복소해석학, 실해석학 등의 배경지식이 필요하다.

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