물리학을 위한 푸리에 급수와 푸리에 변환

물리학을 위한 푸리에 급수와 푸리에 변환


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예전부터 물리학과 수리물리 정도만 공부하는 물리학과 전공자에게 푸리에 급수와 푸리에 변환에 대한 좋은 설명이 없다고 생각했다. 푸리에 급수, 푸리에 변환에 대한 내용은 많은 교재에서 다루고 있지만 핵심을 적절한 난이도로, 적절한 분량으로 다룬 교재는 없는 것 같아서 직접 작성했다. 특히나 난이도에 대한 부분을 신경써서 글이 어렵지 않도록 했다. 전공 수학을 제대로 공부하면 큰 도움이 된다. 하지만 많은 물리학과 학생들이 저 마다의 사정이 있어 그럴 수 없다는 것도 알고 있다. 그래서 최대한 수학적인 내용을 빼거나 충분히 이해할 수 있도록 쉽게 표현했다. 그럼에도 불구하고 의문점이 있거나 이해가 안되는 부분이 있다면 덧글로 남겨주기 바란다.

  1. 푸리에 급수$(\mathrm{Fourier\ series})$ 새내기 때 대학수학 혹은 미분적분학(칼큘러스)을 들었다면 테일러 급수 에 대해서 알고 있을 것이다. 정확하게 뭔지는 몰라도 이름을 들어본 기억 정도는 있을거다. 테일러 급수란 쉽게 말해서 어떤 함수를 다항함수의 합(선형 결합)으로 근사한 것이다. 예를 들어 사인, 코사인, 지수 함수는 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$

$$ \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }=\dfrac{1}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots $$

$$ { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } =\dfrac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
$$ 다항함수로 근사하는 까닭은 당연히 다항함수가 다루기 쉽기 때문이다. 적당히 큰 $n$까지의 합으로 나타내면 정확하지는 않더라도 아주 비슷한 값을 얻을 수 있다. 이와 비슷한 것으로 푸리에 급수 가 있다. 푸리에 급수는 주기 함수를 삼각함수의 합으로 근사한 것이다. (유한한 범위에서 정의된 함수라면 같은 모양을 이어 붙이는 것으로 주기함수처럼 만들 수 있으니 반드시 주기함수일 필요는 없다.) 다항함수로 근사하는 방법이 있는데 굳이 삼각함수로 근사하는 방법이 필요한 이유는 다항함수로 근사하는 것 보다 활용도가 높기 때문이다. 언제나 다항함수로 근사할 수 있으면 좋겠지만 그렇지 않다. 푸리에 급수는 테일러 급수로 접근하기 힘든 많은 함수들에 적용할 수 있기에 유용하다. 특히나 미분 방정식을 풀 때 푸리에 급수는 큰 역할을 한다. 전자기학에서 변수분리법을 이용해서 전위를 구할 때, 양자역학에서 파동함수를 구할 때 등 여러 상황에서 쓰인다.주어진 함수 $f(x)$의 주기가 $2L$일 때 푸리에 급수는 아래와 같다. $$ \begin{array}{c} f(x) =\dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \right) \end{array} $$ 이때 각각의 계수는 $$ a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx $$

$$ \begin{array}{c} a_n= \displaystyle \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}t dx \end{array} $$

$$ \begin{array}{c} b_n=\displaystyle \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}tdx \end{array} $$ $a_0$을 어떻게 정의하느냐에 따라서 푸리에 급수의 식이 바뀔 수도 있다. 예를 들어 $\frac{1}{2}$을 $a_0$안에 포함시키면 $$ \begin{array}{c} f(x) =a_0+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \right),\quad a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \end{array} $$ 혹은 각각의 계수들의 적분 범위가 달라질 수도 있지만 모두 같은 표현이다. $$ a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx=\dfrac{1}{L}\int_{0}^{2L}f(x)dx $$

$$ \begin{array}{c} a_n= {\displaystyle \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx ={\displaystyle \dfrac{1}{L}\int_{0}^{2L}} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx\end{array} $$

$$ \begin{array}{c} b_n={\displaystyle \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} } f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx ={\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{2L}} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\end{array} $$ 그러니 익숙한 표기법이나 본인이 사용중인 교재, 수강중인 수업에서의 표기법을 따라가면 된다.

  1. 푸리에 변환$(\mathrm{Fourier\ transform})$ 푸리에 급수가 주기함수를 쉽게 다룰 수 있게 해줬다면 푸리에 변환은 비주기 함수를 쉽게 다루게 해준다. 특히나 푸리에 변환에는 푸리에 역변환이 존재하여 원래 모습 그대로 돌아갈 수 있다. 이게 얼마나 좋은 성질인지는 미분과 적분을 생각해보면 쉽게 이해가 될 것이다. 가령 $f(x)=3x^2+2x+1$이라고 하자. 이 함수를 미분하면 $f^{\prime}(x)=6x+2$이다. 하지만 다시 적분했을 때 $f(x)$를 얻을 수 없다. 적분 상수가 생겨서 상수 만큼의 오차가 생기는 것이다. 미분과 적분은 역연산처럼 보이지만 순서대로 적용했을 때 정보가 그대로 보존되지 않는다. 하지만 푸리에 변환과 푸리에 역변환은 위의 예 처럼 정보를 잃지 않고 그대로 보존한다. 함수 $f(x)$의 푸리에 변환 $\hat{f}$의 정의는 다음과 같다. $$ \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x}dx $$ 변환은 어떤 함수를 다른 모양의 함수로 바꿔주는 것이다. 위의 식은 함수 $f(x)$를 $\hat{f}(\xi)$라는 함수로 바꿔준 것이다. 푸리에 변환은 물리학뿐 아니라 공학, 전자공학 등에서도 많이 사용된다. 학부 물리학 중에서는 특히 양자역학에서 많이 볼 수 있다. 미분 방정식 (열 방정식)을 풀 때도 쓰인다. 이렇게 설명하면 웃긴게 사실 푸리에 급수와 푸리에 변환은 열 방정식을 풀기 위해 고안된 것이다. 대게 푸리에 변환은 시간에 대한 함수를 주파수에 대한 함수로 바꿔줄 때 많이 쓰인다. 보통 위 식에서 $x$자리에 시간이, $\xi$자리에 주파수가 들어간다고 생각하면 된다. 아래의 그림을 보면 왜 어떤 신호를 시간에 대해서 해석하는 것 보다 주파수에 대해서 다루는게 더 쉬운지 알 수 있을 것이다.untitled.png

untitled2.png

왼쪽 그림은 잡음이 있는 신호를 시간에 대해서 나타낸 것이다. 오른쪽 그림은 진폭을 주파수에 대해서 나타낸 것이다. 누가 봐도 오른쪽의 그림이 더 이해하기 쉽다. 시간에 대해서 나타낸 그래프는 신호의 특징을 알아보기 어려운 반면 주파수에 대해서 나타낸 그래프는 명확하게 신호의 특징을 나타낸다.

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