푸리에 역변환 정리

푸리에 역변환 정리

fourier inversion theorem

빌드업

푸리에 변환을 유도하는 과정에서 역변환의 정의도 같이 유도했다. 하지만 이는 이해를 돕기 위해 단순히 설명한 것으로 변환 식을 정확하게 유도한 것은 아니다. 우선 푸리에 역변환은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} f(x) =\dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi \label{eq1} \end{equation} $$

위 식에는 $f$로부터 얻은 $\hat{f}$로부터 $f$를 다시 얻을 수 있다는 의미가 있다. 이게 소린지, 당연한 말이 아닌가 싶을 수도 있지만 전혀 당연하지 않다. 가령 미분과 적분을 생각해보자. 어떤 다항식을 미분했을 때 상수항이라는 정보를 잃어버리고 이는 적분을 통해서 다시 얻을 수 없다. 허나 푸리에 변환은 정보를 그대로 보존한다. $f$로부터 푸리에 변환 $\hat{f}$를 얻고, 다시 이 $\hat{f}$에 역변환을 취하면 $f$를 그대로 얻을 수 있다.

$$ \begin{equation} \hat{f} (\xi) := \int f(x) e^{-i\xi x}dx \label{eq2} \end{equation} $$

푸리에 변환을 위와 같이 정의했을 때 $\eqref{eq1}$이 그 역변환이 됨은 다음과 같이 보일 수 있다.

푸리에 역변환 정리

$f$의 푸리에 변환 $\hat{f}$를 $\eqref{eq2}$와 같이 정의하자. $f$를 적분가능하고 조각마다 연속 이라고 가정하자. $f$는 불연속인 점에서는 아래와 같이 정의되어있다.

$$ f(x)=\dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big] $$

그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ f(x)=\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0}\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$

더욱이, 만약 $\hat{f} \in L^1$이라고 하자. 그러면 $f$는 연속이고

$$ f(x) =\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi $$

아래의 증명에 대해 설명하자면 어떤 가정으로부터 출발하여 어떤 과정들을 통해 푸리에 역변환식을 도출해내는 것은 아니다. 정확히는 $\eqref{eq1}$의 식이 타당한지를 확인하는 작업이다.

증명

문제를 쉽게 풀기 위해서 절단 함수$(\mathrm{cutoff\ function})$를 사용할 것이다. 절단 함수란 곱해서 극한을 취했을 때 이름 그대로 어떤 범위 밖을 잘라내는 듯한 효과가 나타나는 것을 말한다. 원점 근처에서는 원래의 값을 유지하고 원점에서 멀어질수록 $0$으로 수렴하게 만들기 위해서 쓰는 것이다. 몰리파이어와 비슷한 개념이다. 이 부분의 설명을 잘 이해하지 못하겠다면 그냥 넘어가도 무방하다. 어쨌든 아래와 같은 절단함수를 역변환으로 유도하고자 하는 식에 곱해줄 것이다.

$$ \eta(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad \eta_\epsilon (\xi)=\dfrac{1}{\epsilon}\eta \left( \frac{\xi}{\epsilon} \right)=\dfrac{1}{\epsilon\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon^2}} $$

위의 절단 함수를 곱하면

$$ \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$

위 식은 푸리에 변환의 정의에 의해 아래와 같다.

$$ \dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$

여기에서 푸리에 변환의 정의와 합성곱 등을 사용하여 수식을 바꿔주면

$$ \begin{align*} \dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\int} f(y) {\color{blue}e^{-i\xi (y-x)}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}}dy {\color{blue}d\xi} \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\mathcal{F} \left[ e^{-\epsilon^2 \xi^2 /2}\right] (y-x)} f(y) dy \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\sqrt{\dfrac{2\pi}{\epsilon^2}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2\epsilon^2}}} f(y) dy \\ &= \int \dfrac{1}{\epsilon \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-y)^2}{2\epsilon^2}} f(y) dy \\ &= \int \eta_\epsilon(x-y)f(y) dy \\ &= f \ast \eta_\epsilon(x) \end{align*} $$

세번째 등호에서 아래의 공식을 사용했다.

가우스 함수의 푸리에 변환

가우스 함수 $f(x)=e^{-Ax^2}$의 푸리에 변환 은 다음과 같다.

$$ \mathcal{F}[f] (\xi) = \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} $$

그러면 $f$가 조각마다 연속이라는 가정에 의해 $f$의 몰리피케이션은 아래와 같이 수렴한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f \ast \eta_\epsilon(x) \\ &= \dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big] \\ &= f(x) \end{align*} $$

또한 $\hat{f} \in L^1$라고 가정하면

$$ \left| e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2|\xi|^2 /2} \hat{f}(\xi) \right| \le \left| \hat{f}(\xi) \right| $$

이므로 지배수렴정리에 의해

$$ \begin{align*} f(x) &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi \end{align*} $$

따라서

$$ f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi $$

$f$의 푸리에 변환을 $\mathcal{F}[f]=\phi$라고 하자. 그러면 $\phi$를 $f$의 푸리에 역변환이라 하고 아래와 같은 기호로 나타낸다.

$$ \mathcal{F}^{-1}f=\phi $$

따름정리

만약 $\hat{f}=\hat{g}$라고 하자. 그러면 $f=g$이다.


‘뭐지? 당연한거 아닌가?’ 라는 생각이 들 수도 있겠지만 전혀 당연하지 않다. 미분이라는 연산을 생각해보자. $f(x)=x^2+1$, $g(x)=x^2+4$라고 하자. 이때 $f^{\prime}(x)=2x=g’(x)$라는 사실이 $f(x)=g(x)$를 보장하지 않는다. 따라서 따름정리와 같은 사실이 보장된다는 것은 매우 중요한 성질이다.

증명

$$ f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}]=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}] $$

따라서

$$ f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}]=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}[g]=g $$

댓글