푸리에 코사인 급수, 사인 급수, 우함수와 기함수의 푸리에 계수

푸리에 코사인 급수, 사인 급수, 우함수와 기함수의 푸리에 계수

fourier cosine series and sine series fourier coefficient of odd function and even function

정의

$f$를 구간 $[0,L)$에서 조각마다 매끄러운 함수라고 하자. 아래와 같이 정의되는 $f_{e}$를 구간 $[-L, L)$로 $f$의 even extension이라 한다.

$$ f_{e}(t) := \begin{cases} f(t) & -L \le t <0 \\ f(-t) & 0 \le t <L\end{cases} $$

비슷하게 아래와 같이 정의되는 $f_{o}$를 구간 $[-L, L)$로 $f$의 odd extension이라 한다.

$$ f_{o}(t) := \begin{cases} -f(-t) & -L \le t <0 \\ f(t) & 0 \le t <L\end{cases} $$

설명

$f_{e}$, $f_{o}$는 각각 $f$가 우함수, 기함수가 되도록 정의역을 확장한 것이다. $f_{e}$와 $f_{o}$를 이용하여 $f$의 푸리에 급수를 코사인 혹은 사인 항만 나타나도록 표현할 수 있다.

푸리에 코사인 급수

$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$

$f_{e}$는 우함수이고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로 아래의 식이 성립한다.

$$ a_{0}=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{e}(t)dt=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)dt $$

$$ a_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\cos \frac{n \pi t}{L}dt $$

$$ b_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\sin \frac{n\pi}{L}tdt=0 $$

따라서 $f_{e}(t)$의 푸리에 급수는

$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} $$

그리고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로

$$ \begin{equation} f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} \label{eq1} \end{equation} $$

이때, $a_{0}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)dt$, $a_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dt$이다. 식 $(1)$을 $f$의 푸리에 코사인 급수Fourier cosine series라 한다.

푸리에 사인 급수

$$ f_{o}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$

$f_{o}$는 기함수이고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{o}(t)dt=0 \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=0 \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\sin \frac{n \pi t}{L} \end{align*} $$

따라서 $f_{o}(t)$의 푸리에 급수는

$$ f_{o}(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} $$

그리고 $t \in [0,L)$에서 $f_{o}(t)=f(t)$이므로

$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} \label{eq2} \end{equation} $$

이때, $b_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\sin \frac{n\pi t}{L} dt$이다. 식 $(2)$를 $f$의 푸리에 사인 급수Fourier sine series라 한다.

우함수와 기함수의 푸리에 계수

위 내용을 요약하면 다음과 같다. $f$를 구간 $[-L,L)$에서 정의된 함수라 하자. $f$가 우함수면 $f$의 푸리에 계수는 아래와 같다.

$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \cos \frac{n \pi t}{L}dt \\ b_{n} &= 0 \end{align*} $$

$f$가 기함수면 $f$의 푸리에 계수는 아래와 같다.

$$ \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{n} &= 0 \\ b_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \sin \frac{n \pi t}{L}dt \end{align*} $$

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