위상수학에서 고정점 성질이란?

위상수학에서 고정점 성질이란?

fixed point property in Topology

정의

함수 $f : X \to X$ 에 대해 $f(x_{0}) = x_{0}$ 를 만족하는 $x_{0}$ 을 $f$ 의 고정점Fixed Point이라 한다. 모든 연속함수 $f$ 가 고정점을 가지면 $X$ 가 고정점 성질Fixed Point Property을 가진다고 한다.

설명

주로 완비 공간과 관계가 깊다.적어도 $\mathbb{R}$ 에서는 중간값 정리를 이용하면 $f : [a,b] \to [a,b]$ 에 대해 $f(c) = c$ 를 만족하는 $c$ 가 항상 존재함을 보일 수 있다.

정리

고정점 성질은 위상적 성질이다.

증명

위상동형사상 $ h : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 고정점 성질을 갖는다고 하자. $Y$ 가 고정점 성질을 가짐을 보이면 증명은 끝난다.

$f : Y \to Y$ 를 연속함수로, $g : X \to X$ 를 $g(x) = (h^{-1} \circ f \circ h) (x)$ 로 정의하면 $g$ 역시 연속함수다. $X$ 는 고정점 성질을 가지므로 $g$ 의 고정점 $x_{0}$ 가 존재할 것이고, $h(x_{0}) = y_{0} \in Y$ 라고 두자. 그러면 $$ \begin{align*} f (y_{0}) =& f( ( h (x_{0} ) ) \\ =& h \circ h^{-1} \circ f \circ h (x_{0}) \\ =& h(g(x_{0})) \\ =& h (x_{0}) \\ =& y_{0} \end{align*} $$ 이고, $Y$ 는 고정점 성질을 가진다.

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