상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

first order linear homogeneous differential equation with constant coefficients

정리

상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$

의 일반해는

$$ y=Ae^{\alpha x} $$

이다. 이때 $A$는 상수이다.

설명

한 번 미분했을 때 자기 자신과 같은 함수가 무엇인지 생각해보면 왜 지수 함수가 답인지 알 수 있을 것이다.

증명

$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$

에서 변수 분리를 해주면

$$ \frac{ 1 }{ y }dy=\alpha dx $$

양 변을 적분하면

$$ \ln y=ax+C $$

이때 $C$는 적분 상수이다. $y$의 로그를 벗겨내면

$$ y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x} $$

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