상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

정리

상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$

의 일반해는

$$ y=Ae^{\alpha x} $$

이다. 이때 $A$는 상수이다.

설명

한 번 미분했을 때 자기 자신과 같은 함수가 무엇인지 생각해보면 왜 지수 함수가 답인지 알 수 있을 것이다.

증명

$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$

에서 변수 분리를 해주면

$$ \frac{ 1 }{ y }dy=\alpha dx $$

양 변을 적분하면

$$ \ln y=ax+C $$

이때 $C$는 적분 상수이다. $y$의 로그를 벗겨내면

$$ y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x} $$

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