유한 차원 놈 공간은 완비성을 가짐을 증명

유한 차원 놈 공간은 완비성을 가짐을 증명

finite dimentional normed space is complete

정리 1

유한 차원 놈 공간은 완비성을 가진다.

설명

이에 따라 유한 차원 벡터 공간은 놈이 정의되는 것만으로 바나흐 공간이 된다. 대표적으로 많이 쓰이는 $\mathbb{R}^{n}$ 혹은 $\mathbb{C}^{n}$ 이 있기 때문에 특히 유용한 팩트다.

증명

전략: 유한차원 벡터 공간이라는 점을 이용해 모든 벡터를 기저 단위로 찢은 후 다루기 편한 놈을 정의한다. 놈의 동치관계를 타서 추상적인 계산을 직접적인 계산으로 바꾼다.


유한 차원 놈 공간 $(X, \| \cdot \|_{0} )$ 에 대해 기저 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 가 존재한다.

  • Part. 1

    $X$ 의 코시 수열 $\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N} }$ 을 다음과 같이 정의하자.

    $$ x_{1} = \lambda_{1}^{(1)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(1)} e_{n} $$

    $$ x_{2} = \lambda_{1}^{(2)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(2)} e_{n} $$

    $$ \vdots $$

    $$ x_{k} = \lambda_{1}^{(k)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(k)} e_{n} $$

  • Part 2.

    $$ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| : = \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k} | $$

    놈 $\| \cdot \|$ 를 위와 같이 선형 결합의 계수의 절댓값을 모두 더한 값으로써 정의해보자.

$X$ 은 유한 차원 놈 공간이므로 $\| \cdot \|_{0} \sim \| \cdot \|$ 이고, 어떤 $m , M > 0$ 에 대해

$$ m \| x_{k} - x_{m} \| \le \| x_{k} - x_{m} \|_{0} \le M \| x_{k} - x_{m} \| $$

  • Part 3.

    $\| \cdot \|$ 의 정의에 따라

    $$ m \| x_{k} - x_{m} \| \le \| x_{k} - x_{m} \|_{0} $$

    $$ \implies m \left( \left| \lambda_{1}^{(k)} - \lambda_{1}^{(m)} \right| + \cdots + \left| \lambda_{n}^{(k)} - \lambda_{n}^{(m)} \right| \right) \le \| x_{k} - x_{m} \|_{0} $$

    $\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N} }$ 는 코시 수열이므로 $k,m \to \infty$ 일 때 $\| x_{k} - x_{m} \|_{0} \to 0$ 이다. 그러면 모든 $1 \le i \le n$ 에 대해

    $$ \lim_{k,m \to \infty } m \left( \left| \lambda_{i}^{(k)} - \lambda_{i}^{(m)} \right| \right) \to 0 $$

    따라서 $\left\{ \lambda_{i}^{(k)} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 들은 코시 수열이고, $\mathbb{C}$ 는 완비 공간이므로 어떤 $\lambda_{i} \in \mathbb{C}$ 로 수렴한다.

  • Part 4.

    $x := \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$ 이라고 하면

    $$ \| x_{k} - x \|_{0} \le M \| x_{k} - x \| $$

    $$ \implies \| x_{k} - x \|_{0} \le M \left( \left| \lambda_{1}^{(k)} - \lambda_{1} \right| + \cdots + \left| \lambda_{n}^{(k)} - \lambda_{n} \right| \right) $$

    $$ \implies 0 \le \lim_{k \to \infty} \| x_{k} - x \|_{0} \le \lim_{k \to \infty} M \left( \left| \lambda_{1}^{(k)} - \lambda_{1} \right| + \cdots + \left| \lambda_{n}^{(k)} - \lambda_{n} \right| \right) $$

    $$ \implies \lim_{k \to \infty} \| x_{k} - x \|_{0} = 0 $$

    따라서 $X$ 의 코시 수열 $\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N} }$ 은 $x \in X$ 으로 수렴한다.


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p73. ↩︎

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