유한 차원 놈 공간은 완비성을 가짐을 증명

유한 차원 놈 공간은 완비성을 가짐을 증명

정리 1

유한 차원 놈 공간은 완비성을 가진다.

설명

이에 따라 유한 차원 벡터 공간은 놈이 정의되는 것만으로 바나흐 공간이 된다. 대표적으로 많이 쓰이는 $\mathbb{R}^{n}$ 혹은 $\mathbb{C}^{n}$ 이 있기 때문에 특히 유용한 팩트다.

증명

전략: 유한차원 벡터 공간이라는 점을 이용해 모든 벡터를 기저 단위로 찢은 후 다루기 편한 놈을 정의한다. 놈의 동치관계를 타서 추상적인 계산을 직접적인 계산으로 바꾼다.


유한 차원 놈 공간 $(X, \| \cdot \|_{0} )$ 에 대해 기저 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 가 존재한다.

$X$ 은 유한 차원 놈 공간이므로 $\| \cdot \|_{0} \sim \| \cdot \|$ 이고, 어떤 $m , M > 0$ 에 대해

$$ m \| x_{k} - x_{m} \| \le \| x_{k} - x_{m} \|_{0} \le M \| x_{k} - x_{m} \| $$


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p73. ↩︎

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