유한 콘

유한 콘

Finite Cone

정의1

$v$를 $\mathbb{R}^n$에서의 단위벡터2라고 하자. 그리고 영벡터가 아닌 각각의 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해서 $\angle(x,v)$를 두 벡터 $v,x$사이의 각도라고 하자. 그러면 주어진 $v$, $\rho \gt 0$, $0 \lt \kappa \le \pi$에 대해서 아래의 집합 $C$를 높이가 $\rho$, 축 방향이 $v$, aperture angle이 $\kappa$이고 원점이 꼭짓점인 유한 콘a finite cone of height $\rho$, axis direction $v$ and aperture angle $\kappa$ with vertex at the origin 이라고 한다. $$ C= \left\{ x \in \mathbb{R}^n \ \ \big| \ \ x=0\ \mathrm{or}\ 0<|x|\le \rho,\ \angle (x,v)\le \kappa/2 \right\} $$

$x+C=\left\{ x+y\ \ \big| \ \ y\in C \right\}$는 콘 $C$를 평행이동한 것이며 꼭짓점이 원점에서 $x$로 바뀐 것이다.

설명

cone은 원뿔이라고 번역되기는 하지만 실제로 3차원에서의 모습은 원뿔이 아니다. 따라서 원뿔보다는 콘이라고 그대로 읽는 것이 좋다. 2차원인 경우에 콘은 부채꼴이 된다.

콘은 쉽게 말해서 어떤 점(아래 그림에서의 $x$)을 기준으로 거기에서 뻗어나오는 직선들을 다 모아놓은 것이다. 이 때 무작정 모으는 것이 아니라 각도와 크기라는 조건이 붙은 것이다. 직선을 모으는 것으로 생각하는게 타당한 것은 선분 조건, 약한 콘 조건등과 연계해서 생각해보면 당연하다. 주어진 도메인이 충분히 좋지않을 때를 가정할 때 쓰인다. 예를 들어 어떤 점을 중심으로 하는 오픈 볼을 잡을 수 없더라도 그 점을 꼭짓점으로 하는 유한 콘은 존재할 수 있다. $n$차원에서의 유한 콘은 $n$차원 볼의 부분이기 때문이다.

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3차원에서의 콘은 위 그림과 같이 생겼다. 원뿔과 비슷해 보이지만 원뿔이 아니다. 정확히는 원뿔이 아니라 콘 아이스크림 처럼 생겼다. 위 그림은 $x$가 시점인 벡터 $v$를 기준으로 각도가 $\kappa/2$이하로 차이 나면서 크기는 $\rho$이하인 모든 벡터를 모아놓은 것이다.

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2차원의 경우 부채꼴과 같다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p81-82 ↩︎

  2. v는 영벡터가 아닌 어떤 벡터라도 상관없다. 하지만 v의 방향에만 의미가 있으므로 크기는 중요하지 않다는 것을 강조하기 위해 단위벡터라 하였다. ↩︎

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