오일러의 증명: 싱크함수를 이용한 제곱수의 역수의 합 구하기

오일러의 증명: 싱크함수를 이용한 제곱수의 역수의 합 구하기

finding sum of reciprocal of square number using sinc Function

정리

$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

증명

전략: 이는 오일러가 남긴 풀이로써, 다름아닌 싱크함수의 오일러 표현을 사용해서 증명한다. 아이디어가 상당히 신선하고 재미있어서 한번 보면 잊어버리는 게 더 어려울 것이다.


싱크함수의 오일러 표현: $$ {{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) $$

오일러 표현의 우변을 풀어서 적어보면 아래와 같다. $$ \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) = \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 4 \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 9 \pi^2 }} \right) \cdots $$ 한편 사인함수의 매클로린 전개를 생각해보면 싱크함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ {{\sin x} \over {x}} = {{1} \over {x}} \left( x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} - {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots \right) $$ 양변이 서로 같다는 것은 각 항마다의 계수가 같다는 것이고, $x^{2}$ 의 계수만 비교해보면 아래와 같다. $$ - {{1} \over {3!}} = - {{1} \over {\pi^2 }} - {{1} \over { 4 \pi^2 }} - {{1} \over { 9 \pi^2 }} - \cdots $$ 양변에 $- \pi^2$ 을 곱하면 $$ {{\pi^2} \over {6}} = {{1} \over { 1 }} + {{1} \over { 4 }} + {{1} \over { 9 }} + \cdots $$ 정리하면 $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

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