적분을 이용한 타원의 넓이 구하기

적분을 이용한 타원의 넓이 구하기

finding area of ellipse using integral

공식

타원 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$ 의 넓이는 $ab \pi$ 이다.

설명

특히 $a=b=r$, 즉 반지름이 $r$ 인 원 $x^2 + y^2=r^2$ 의 넓이는 익히 아는대로 $r^2 \pi$ 다.

증명

ellipse.png

타원의 넓이를 구하기 위해선 색칠된 영역의 넓이만 구하면 충분하다. 영역의 넓이는 $$ \int _{0} ^{a} \sqrt{b^2-{b^2 \over a^2} x^2} dx $$ 로 주어진다. $x = a \sin \theta$ 로 치환을 하면 $$ \begin{align*} \int _{0} ^{ \pi \over 2 } b \sqrt{1 - \sin ^ 2 \theta } a \cos \theta d \theta =& ab \int _{0} ^{ \pi \over 2 } \cos ^2 \theta d \theta \\ =& ab \left[ {1 \over 4} (2\theta + \sin 2\theta)\right]_{0}^{\pi \over 2} \\ =& {ab \over 4} \pi \end{align*} $$ 여기에 $4$ 를 곱하면 타원의 넓이 $ab \pi$ 를 얻는다.

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