추상대수학에서의 체 📂추상대수

추상대수학에서의 체

field in Abstract Algebra

정의 1

  1. $(R , + , \cdot)$ 이 곱셉 $\cdot$ 에 대한 항등원 $1 \in R$ 을 가질 때, $1$ 을 단위원Unity이라 한다.
  2. 단위원을 가진 환 $R$ 에서 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소 $r \ne 0$ 를 단원Unit이라 한다.
  3. 단위원을 가진 환 $R$ 에서 $0$ 이 아닌 모든 원소가 단원이면 상환Division Ring이라 한다.
  4. 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 상환 $R$ 을 Field라 한다.

설명

짧게 요약해서, 체 $(F , + , \cdot )$ 란 덧셈에 대한 항등원 $0 \in F$ 를 제외한 모든 원소가 역원을 갖는 가환환이다. 추상대수로 생각하면 어렵지만 해석학에서 배운 $\mathbb{R}$ 을 생각해보면 사실 이것이야 말로 ‘대수구조’답다고 볼 수 있다.

역원이 존재하는 원소가 왜 유닛으로 불리는가

한편 단위원의 영어표현인 Unity는 쉽게 받아들일 수 있어도 역원이 존재하는 원소를 왜 Unit이라고 부르는지는 납득하기 어려운 사람이 많을 것이다. 보통 유닛이란 ‘단위’로 번역되며, ‘어떤 수량을 잴 때의 기준’이라는 말로 즐겨 쓰기 때문이다. 역원이 존재한다는 것과 단위는 아무 상관이 없어보이는데 왜 하필 유닛이라고 정의했을까? 이에 대해 흥미로운 뇌피셜을 제안해볼까 한다.

대수학이 발달하던 초창기에는 아무래도 정수에 대한 연구가 활발했다. 실제로 우리가 정수집합을 $\mathbb{Z}$ 이라고 쓰는 것 역시 독일어의 Zahlring에서 ‘Zahl-‘이 ‘수’를 의미하기 때문인데, ‘-ring' 은 알다시피 으로 번역되고 있다. 이 외에도 대수학에서 쓰이는 많은 개념들은 정수론의 센스에서 나왔다는 주장을 받아들이는 것은 별로 어렵지 않을 것이다.

이제 정수체 $\mathbb{Z}$ 을 생각해보자.

$\mathbb{Z}$ 는 $ \cdots , -2 , -1, 0, 1 , 2 ,\cdots$ 와 같이 무한히 많은 정수들을 원소로 갖는다. 이 때 여기서 곱셈에 대해서 항등원이 되는 것은 오로지 $1$ 뿐이며, 역원을 가지는 원소는 $-1$ 과 $1$ 뿐이다. 그리고 추상대수를 공부할 정도로 수학에 친숙하다면 $-1$ 과 $1$ 이 ‘유닛’이라고 불리는 것에 어색함을 느끼진 않을 것이다. 이러한 배경에서, 정수를 벗어나 여러 대수구조를 살펴보다보니 이런 것들을 유닛이라고 부르는 게 적절했을지도 모르겠다.

$\mathbb{R}$ 까지 와서는 $0$ 을 제외한 모든 $r \in \mathbb{R}$ 에 대해 곱셈에 대한 역원 $\displaystyle {{1} \over {r}} \in \mathbb{R}$ 이 존재하므로 $0$ 을 제외한 모든 원소가 유닛인데, 생각해보면 $r$ 에다 어떤 수 $a$ 를 곱해서 내가 원하는 수인 $x$ 를 만들수가 있으므로 $r \ne 1$ 역시 단위로써 역할을 못할 이유가 전혀 없다. 그리고 그 어떤 수 $a$ 란 자명하게도 $a = r^{-1}x$ 인데, $r^{-1}$ 이 존재하지 않고서야 장담할 수가 없는 일이다.

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p173. ↩︎

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