해석학의 세 가지 공리: 1 체 공리

해석학의 세 가지 공리: 1 체 공리

공리1

실수 $a,b,c \in \mathbb{R}$ 와 연산 $+,\cdot$ 에 대해 다음의 성질들이 성립한다고 받아들이자.

(A1) 덧셈에 대한 폐쇄성: $a+b \in \mathbb{R}$

(A2) 덧셈에 대한 결합법칙: $(a+b) + c = a + (b+c)$

(A3) 덧셈에 대한 교환법칙: $ a+ b= b + a$

(A4) 덧셈에 대한 항등원: 모든 실수 $a$ 에 대해, $a+0=0+a=a$를 만족하는 $0$ 이 유일하게 존재한다.

(A5) 덧셈에 대한 역원: 모든 실수 $a$ 에 대해, $a + (-a) = (-a) + a = 0$ 을 만족하는 $(-a)$가 유일하게 존재한다.

(M1) 곱셈에 대한 폐쇄성: $a\cdot b \in \mathbb{R}$

(M2) 곱셈에 대한 결합법칙: $(a\cdot b) \cdot c = a \cdot (b\cdot c)$

(M3) 곱셈에 대한 교환법칙: $a\cdot b= b \cdot a$

(M4) 곱셈에 대한 항등원: 모든 실수 $a$ 에 대해, $a\cdot 1=1\cdot a=a$를 만족하는 $1$ 이 유일하게 존재한다.

(M5) 곱셈에 대한 역원: $0$ 을 제외한 모든 실수 $a$ 에 대해, $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$ 을 만족하는 ${a^{-1}}$가 유일하게 존재한다.

(D) 분배법칙: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

설명

해석개론은 기본적으로 실수 집합 $\mathbb{R}$에서의 함수들을 다루는 과목이다. 그리고 이 해석학에서 가장 당황스러운 과정 중 하나가 이렇듯 당연한 사실에 대해 공부하는 것이다. 이제까지 당연했던 것들을 ‘엄밀한’ 혹은 학생들이 느끼기론 ‘쓸데없는’ 수준까지 파고 든다. 엄밀함에 늘 목이 말라왔던 학생들은 흥미를 느낄 것이고 그렇지 않은 경우는 힘이 좀 들 것이다.

실수는 의무교육과정 간에 천천히 확장해오면서 자연스럽게, 직관적으로 받아들인 개념이다. 그렇게 뻔히 알던 ‘실수’라는 걸 굳이 연산에 대해 닫혀있네 마네 하고 있으니 상당히 지루하다. 특히 저 11가지 성질들은 우리가 너무 당연하게 여기기 때문에 대수롭지 않게 여기고 있다가 시험을 앞두고 부랴부랴 달달 외우고 있노라면 수학도로서 회의감도 만만치 않을 것이다.

하지만 이 모든 것이 더 큰 학문을 배우기 위해 이겨내야할 시련이다. 그렇다고 빠삭하게 외우고 있을 필요도 없다. 조금 지나 추상대수학을 배우면 저 11가지 성질을 굳이 암기하지 않아도 술술 말할 수 있게 된다. 그리고 거기서 조금 더 지나면 저 성질들이 얼마나 당연하지 않으면서도 유용한 성질들인지 알게 될 것이다. 예를 들어 다음과 같이 당연한 사실도 의외로 증명이 필요하다.

정리

임의의 실수와 $0$ 을 곱하면 $0$ 이다.

증명

$a \in \mathbb{R}$ 라고 하자. $0 \in \mathbb{R}$ 이므로 $0 + 0= 0$ 이고,

$$ a \cdot 0 = a \cdot [ 0 + 0 ] $$

(D) 분배법칙 에 의해서

$$ a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 $$

$a \cdot 0 \in \mathbb{R}$ 이므로 (A5) 덧셈에 대한 역원 이 존재해서

$$ a \cdot 0 + \left[ -(a \cdot 0) \right] = a \cdot 0 + a \cdot 0 + \left[ -(a \cdot 0) \right] $$

$a \cdot 0 + \left[ -(a \cdot 0) \right] = 0$ 이므로

$$ 0 = a \cdot 0 $$

같이보기


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p5-6 ↩︎

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