B-스플라인의 익스플리시트 공식

B-스플라인의 익스플리시트 공식

explicit formula for the b splines

공식1

함수 $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$에 대해서

$$ f(x)_{+}:=\max \left( 0,f(x) \right) $$

이라고 하자. 즉, $f_{+}$는 $f$의 함숫값이 $0$보다 작은 부분을 모두 $0$으로 바꾼 함수이다. 또한

$$ f(x)_{+}^{n}:=\left( f(x)_{+} \right)^{n} $$

라고 정의하자. 그러면 각각의 $m=2,3,\dots$에 대해서 B-스플라인 $N_{m}$은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$ N_{m}(x) = \frac{1}{(m-1)!}\sum \limits_{j=0}^{m} \left( -1 \right)^{j}\binom{m}{j}\left( x-j \right)_{+}^{m-1},\quad x\in \mathbb{R} $$

증명


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p207 ↩︎

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