에르미트 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명

에르미트 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명

Expectation Value of Hermitian Operator is Real

정리

에르미트 연산자기댓값은 항상 실수이다.

증명

$A$를 에르미트 연산자라고 하자. $A$의 기댓값은

$$ \langle A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx = \langle \psi|A\psi \rangle $$

실수임을 보이려먼 $\langle \psi|A\psi \rangle-\langle \psi|A\psi \rangle^{\ast}=0$임을 보이면 된다.

$$\begin{align*} \langle \psi|A\psi \rangle^{\ast} =&\ \langle A\psi | \psi \rangle \\ =&\ \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ =&\ \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ =&\ \int \psi^{\ast} A \psi dx \\ =&\ \langle \psi|A \psi \rangle \end{align*}$$

따라서

$$ \langle \psi|A\psi \rangle-\langle \psi|A\psi \rangle^{\ast}=\langle \psi|A\psi \rangle-\langle \psi|A\psi \rangle=0 $$

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