양자역학에서 기댓값이란

양자역학에서 기댓값이란

Expectation Value in Quantum Mechanics

정의

규격화파동함수 $\psi$의 연산자 $A$ 기댓값expactation value을 다음과 같이 정의한다.

$$ \left\langle A \right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}A\psi dx $$

설명

결론부터 말하자면 고등학교 수학 통계 부분에서 배운 그 기댓값이 맞다. 양자역학을 공부하면서 기댓값을 이해하기 어렵다면 그 어려움에 대한 종류는 크게 두가지가 있다. 첫째는 정의 그 자체를 이해하는 것에 대한 어려움이고 둘째는 수식이 왜 그렇게 표현되는지에 대한 의문이다.

기댓값이란?

여러분도 알다시피 주사위를 던질 때 주사위 눈에 대한 기댓값은 $(1+2+3+4+5+6)*\dfrac{ 1 }{ 6 }=3.5$이다. 주사위를 많이 던져보면 그 평균은 $3.5$와 가까울거라는 의미이다. 이와 마찬가지로 어떤 입자의 운동량의 기댓값이란 운동량 측정값의 평균이라는거다.

이를 이해하는데 주의해야할 점은 하나의 입자를 대상으로 측정을 여러번 했을 때의 값을 말하는 것이 아니라는 것이다. 측정 후에 중첩된 파동함수가 붕괴되어 하나로 정해지기 때문에 항상 같은 값만 나오기 때문이다. 따라서 입자의 운동량의 기댓값이란 같은 조건에서 같은 종류의 입자를 측정할 때의 기댓값이라는 뜻이다.

쉽게 이해하기 위해 입자를 사람, 운동량을 체중에 비교해보자. 그러면 입자의 기댓값은 똑같은 사람을 여러번 측정해서 얻는게 아니라 한국의 20대 남성이라는 조건에 맞는 여러 사람들의 체중을 측정해서 얻는 것이다. 같은 사람의 체중을 계속 재봤자 같은 체중이 나오는 것처럼 같은 입자에 대한 측정 결과는 계속 같게 나온다.

식이 왜 그렇게 생겨먹었나?

정의와 표기를 다시 보자.

$$ \left\langle A \right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}A\psi dx \tag{1} $$

고등학교 수학에서 배운 기댓값과 다르게 생긴 것 같지만 사실은 같다. 연속 확률 변수 $X$의 확률 밀도함수가 $f(x)$라면 그 기댓값은

$$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \tag{2} $$

와 같다. 이제 이 둘이 왜 같은지 보자. $\psi$의 확률 밀도는 $| \psi|^{2}=\psi^{\ast}\psi$이므로 $\left\langle A\right\rangle$를 $(2)$와 같이 쓰면

$$ \begin{align*} \left\langle A \right\rangle& = \int_{-\infty}^{\infty}A|\psi|^{2}dx \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}A\psi^{\ast}\psi dx \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}A\psi dx \end{align*} $$

이로써 기댓값 공식이 왜 위처럼 생겼는지에 대한 의문은 해결됐겠지만, 표기가 왜 하필 $A\psi^{\ast}\psi$나 $\psi A \psi^{\ast}$가 아닌 $\psi^{\ast}A\psi$인지에 대한 의문이 남았다. 1차원에서는 곱하는 순서에 따라 결과가 다르지 않다. 하지만 3차원에서 생각하면 파동 함수와 연산자는 각각 벡터와 행렬이 되므로, 곱하는 순서에 따라 결과가 다르다. 행렬은 곱하는 순서에 따라 다른 결과를 얻는다는 것을 알고 있을 것이다. 예를 들어 연산자 $A$와 파동함수 $\psi$가 있다고 하자.

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \psi=\begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \psi_{3} \end{pmatrix} $$

그러면 올바른 행렬 곱은 다음과 같다.

$$ \psi^{\ast} A \psi = \sum_{i,j = 1}^{3} \psi^{\ast}_{i} A_{ij} \psi_{j} $$

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