운동량의 기댓값이 항상 실수임을 증명

운동량의 기댓값이 항상 실수임을 증명

정리

운동량 연산자의 기댓값$ \langle p \rangle $은 항상 실수이다

설명

사실 운동량 연산자뿐만 아니라 모든 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이다. 양자역학에서 다루는 모든 연산자는 에르미트 연산자이므로, 모든 연산자의

증명

운동량의 기댓값은 아래와 같다.

$$ \displaystyle \langle p \rangle = \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx $$

또한 운동량의 기댓값의 복소 켤레는 다음과 같다.$ \displaystyle \langle p \rangle ^{\ast}= \int \psi \left( \frac{\hbar}{-i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi^{\ast} dx$두 값을 빼서 0이라면 증명 끝

$$ \begin{align*} \langle p \rangle -\langle p \rangle ^{\ast} =&\ \frac{\hbar}{i} \int \left( \psi^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) dx \\ =&\ \frac{\hbar}{i} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast} \psi \right) dx \\ =&\ \frac{\hbar}{i} \left[ \psi^{\ast}\psi \right] ^{+\infty}_{-\infty} \\ =&\0 \end{align*} $$

(파동함수는 양 끝점에서 0이므로)

이렇게 기댓값이 실수인 연사자를 에르미트(허미션) 연산자$\mathrm{Hermitian\ operator}$라고 한다.즉, 운동량 연산자도 $\mathrm{Hermitian}$ 연산자이다.

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