측도론으로 정의되는 기대값

측도론으로 정의되는 기대값

정의 1

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.확률 변수 $X$ 에 대해서 다음과 같이 정의된 $E(X)$ 를 $X$ 의 (수리적) 기대값이라고 한다. $$ E(X) := \int_{\Omega} X d P $$


설명

기대값의 정의는 아무리 측도론이 쓰였다지만 너무 난해하다. 무슨 뜻인지 대강은 알겠지만 한 줄 찍 써놓은 수식만으로는 이해하기 어려운 것이 사실이다. 이에 대해 다음의 두가지 정리를 가져다 쓰면 우리가 익숙하게 알고 있는 형태로 바꿀 수 있다.

  • [1] 주어진 확률 변수 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 에 대해 $$ \int_{\Omega} g( X ( \omega )) d P (\omega ) = \int_{\mathbb{R}} g(x) d P_{X} (x) $$
  • [2] 밀도 $f_{X} , g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 가 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 정의된 절대 연속 $P_{X}$ 에 대해 적분가능이면 $$ \int_{\mathbb{R}^{n}} g(x) d P_{X} (x) = \int_{\mathbb{R}^{n}} f_{X} (x) g(x) dx $$

그러면 $g(X)$ 의 기대값은 [2]에서 $n=1$ 이라고 할 때 $$ \begin{align*} E(g(X)) =& \int_{\Omega} g(X) d P \\ =& \int_{\Omega} g( X ( \omega )) d P (\omega ) \\ =& \int_{\mathbb{R}^{1}} g(x) d P_{X} (x) \\ =& \int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X} (x) dx \end{align*} $$ 이는 측도론을 도입했을 때 $\displaystyle E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_{X} (x) dx $ 조차 정의로 받아들이는 것이 아니라 유도할 수 된다는 의미가 된다. 특히 [1]에서 $g(x) = x$ 이면 위에서 소개한 기대값과 같아진다.

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p114. ↩︎

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