자연로그의 급수꼴 유도와 교대조화급수의 수렴성 증명

자연로그의 급수꼴 유도와 교대조화급수의 수렴성 증명

정리

$$ \ln(1-x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { -{ x }^{ n+1 } }{ n+1 } } $$

설명

$\ln(1-x)$ 의 급수꼴은 비교적 쉽게 구할 수 있다. $\ln(1+x)$의 경우는 정리의 결과로 얻은 식에 $x$ 대신 $-x$ 를 대입하면 된다.

$$ -\ln(1-x)=x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 }+ \cdots $$

에 $x$ 대신 $(-x)$ 를 대입하면

$$ -\ln(1+x)=-x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 }- \cdots $$

$$ \implies \ln(1+x)=x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 }-\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 }+ \cdots $$

한편 $\ln(1+x)$ 의 $x$ 에 $1$ 을 대입하면 교대조화급수가 수렴함을 알 수 있다.

$$ \ln 2 = 1- {1 \over 2} + { 1 \over 3} - { 1 \over 4 }+ \cdots $$

물론 엄밀하게는 $-1 < x < 1$ 으로 얻어진 급수전개이므로 $\ln (1+x)$ 가 $x=1$ 에서 연속임을 언급하고 다음과 같이 좌극한을 구한다.

$$ \begin{align*} \ln 2 =& \ln \lim_{x \to 1} (1 + x) \\ =& \lim_{x \to 1} \ln (1 + x) \\ =& \lim_{x \to 1-} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-x)^{n}} \over {n+1}} \end{align*} $$ 이러한 팩트는 주로 절대수렴의 개념을 설명하기 위한 예시로써 잘 쓰이는데, 교대조화급수는

$$ \sum_{n=1}^{\infty} {{(-1)^{n-1}} \over {n}} = 1- {1 \over 2} + { 1 \over 3} - { 1 \over 4 }+ \cdots = \ln 2 < \infty $$

와 같이 수렴하는 반면 그 절댓값들의 급수인 조화급수는 발산해서

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| {{(-1)^{n-1}} \over {n}} \right| = \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }=\infty $$

가 성립한다. 따라서 ‘수렴한다고 해서 반드시 절대수렴하지 않는다’를 설명하는 가장 간단한 예시가 된다.

증명

$-1<x<1$ 에 대해 등비수열의 합 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$ 은 다음과 같다.

$$ {{ 1 } \over { 1-x }}=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+ \cdots $$

양변에 적분을 취하면

$$ -\ln(1-x)=c+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 }+ \cdots $$

$x=0$ 일 때 $-\ln(1-0)=0=c+0$ 이므로 $c=0

$$ \therefore \ln(1-x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { -{ x }^{ n+1 } }{ n+1 } } $$

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