모든 k-cell은 컴팩트이다: 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건

모든 k-cell은 컴팩트이다: 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건

정의

$a_i,b_i \in \mathbb{R} (1\le i \le k)$에 대해서 집합 $I=[a_{1},b_{1}] \times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}]$를 $k$-셀k-cell이라 한다. 여기서 $\times$는 집합의 데카르트 곱이다.

정리1

$\mathbb{R}$상의 폐구간들의 수열 $\left\{ I_{n} \right\}$이 $I_{n}\supset I_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)$를 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \bigcap_{i=1}^{\infty}I_{n}\ne \varnothing $$

증명

$I_{n}=[a_{n},b_{n}]$이라고 하자. 그리고 $E=\left\{ a_{n} : n=1,2,\cdots \right\}$라고 하자. 그러면 $E\ne \varnothing$이고 $b_{1}$1에 의해 위로 유계이다. 이제 $x=\sup E$라고 하자. 그리고 임의의 두 양수 $m$, $n$에 대해서

$$ a_{n} \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_{m} $$

이 성립하므로 모든 $n$에 대해서 $x\le b_{n}$이다. 또한 $x$가 $E$의 상한이므로 모든 $n$에 대해 $a_{n} \le x$임은 자명하다. 따라서 모든 $n$에 대해 $a_{n}\le x \le b_{n}$이므로 $x\in I_{n}\ \forall n$이다. 그러므로

$$ x\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{n} $$

정리2

$\left\{ I_{n} \right\}$이 $I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,\cdots)$를 만족하는 $k-$셀의 수열이라고 하자. 그러면 $\bigcap _{i=1}^{n}I_{n}\ne\varnothing$이다.


정리2정리1을 $\mathbb{R}^{k}$로 확장한 것 이다.

증명

$I_{n}$을 아래와 같이 두자.

$$ I_{n}=\left\{ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) : a_{n,j} \le x_{j} \le b_{nj},\quad(1\le j \le k;\ n=1,2,\cdots) \right\} $$

$I_{n}=I_{n,1}\times \cdots\times I_{n,k}\ (I_{n,j}=[a_{n,j},b_{n,j}])$이다. 그러면 정리1에 의해 각각의 $I_{n,j}$에 대해서 $x_{j}^{\ast}\in I_{n,j} \ (a_{n,j} \le x_{j}^{\ast} \le b_{n,j})$가 존재한다. 따라서

$$ \mathbf{x^{\ast}} =(x_{1}^{\ast},\cdots ,x_{k}^{\ast})\in I_{n} ,\quad (n=1,2,\cdots) $$

정리3

모든 $k-$셀은 컴팩트이다.

증명

$I$를 다음과 같은 임의의 $k$-셀이라고 하자.

$$ I=I^{1}\times \cdots \times I^{k}=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}] $$

그리고 다음과 같이 두자.

$$ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) \quad \text{and} \quad a_{j} \le x_{j} \le b_{j}(1\le j \le k) $$

이제 $\delta$를 아래와 같다고 하자.

$$ \delta =\left( \sum \limits_{j=1}^{k}(b_{j})-a_{j})^{2} \right)^{{\textstyle \frac{1}{2}}}=|\mathbf{b}-\mathbf{a}| $$

이때 $\mathbf{a}=(a_{1},\cdots,a_{n})$, $\mathbf{b}=(b_{1},\cdots,b_{n})$이다. 그러면 $\delta$는 $\mathbf{b}$와 $\mathbf{a}$ 사이의 거리와 같다. 따라서

$$ |\mathbf{x}-\mathbf{y}| \le \delta \quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I $$

가 성립한다. 이제 증명이 본격적으로 시작되는데 귀류법을 사용할 것이다. 즉 $k-$셀이 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 컴팩트의 정의에 의해서 $I$의 어떤 오픈 커버 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$가 유한 부분 커버를 가지지 않는다고 가정하는 것과 같다. $c_{j}=(a_{j}+b_{j})/2$라고 하자. 그러면 $c_{j}$로 각 $I^{j}$를 $[a_{j},c_{j}]$, $[c_{j},b_{j}]$로 나눠 $2^{k}$개의 $1-$셀을 만들 수 있다. 이들의 합집합은 당연히 $I$가 되고 가정에 의해 이들 중 적어도 하나는 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$의 어떤 유한 부분 커버로 커버되지 않아야 한다. 그 셀을 $I_{1}$이라고 하자. 그러면 $I$에서 $I_{1}$을 골라냈던 것과 같은 방식으로 계속 구간을 선택하면 아래의 세 규칙을 만족하는 수열 $\left\{ I_{n} \right\}$을 얻을 수 있다.

그러면 $(\mathrm{i})$과 정리2에 의해 모든 $n$에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast}\in I_{n}$인 $\mathbf{x}^{\ast}$가 존재한다. 그러면 $\left\{ O_{\alpha} \right\}$가 $I$의 오픈 커버이므로 어떤 $\alpha$에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast}\in O_{\alpha}$가 성립한다. $O_{\alpha}$가 열린 집합이므로 $|\mathbf{x}^{\ast}-\mathbf{y}|<r \implies \mathbf{y}\in O_{\alpha}$을 만족하는 $r>0$이 존재한다. 한편 $n$을 충분히 크게하여 $2^{-n}\delta<r$을 만족하도록 할 수 있다. 그러면 $(\mathrm{iii})$에 의해서 $I_{n}\subset O_{\alpha}$이다. 그런데 이는 $(\mathrm{ii})$와 모순이므로 가정이 틀렸다는 것을 알 수 있다. 따라서 모든 $k-$셀은 컴팩트다.

위의 사실로부터 아래의 유용한 정리들을 증명할 수 있다.

유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건

실수(혹은 복소수) 공간의 부분 집합 $E\subset \mathbb{R}^{k}(\mathrm{or}\ \mathbb{C}^{k})$에 대해서 아래의 세 명제는 동치이다.

(a) $E$는 닫혀 있고 유계이다.

(b) $E$는 컴팩트다.

(c) $E$의 모든 무한 부분 집합은 집적점 $p \in E$를 가진다.


여기서 (a), (b) 가 동치라는 것은 하이네-보렐 정리라고 불린다. (c) 를 만족하는 $E$에 대해서 '$E$는 집적점 컴팩트하다’고 하거나' $E$는 볼차노-바이어슈트라스 성질을 가진다'고 한다. (b)(c) 가 동치인 것은 거리공간에서는 성립하지만 위상공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

증명

볼차노-바이어슈트라스 정리

$\mathbb{R}^{k}$의 모든 유계인 무한 부분 집합은 집적점 $p \in \mathbb{R}^{k}$를 갖는다.

증명

$E$를 $\mathbb{R}^{k}$의 유계인 무한 부분 집합이라고 하자. 그러면 $E$가 유계이므로 $E \subset I$를 만족하는 $k-$셀인 $I$가 존재한다. $k-$셀은 컴팩트이므로 $I$는 컴팩트이다. 그러면 $I$가 컴팩트일 동치 조건 $(b)\implies (c)$에 의해서 $E$는 집적점 $p \in I \subset \mathbb{R}^{k}$를 가진다.


  1. 아무 $b_{n}$이라도 상관 없다. ↩︎

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