미적분학에서의 오일러 공식

미적분학에서의 오일러 공식

정리

  1. 오일러 공식:

$$ { e }^{ ix }= \cos x + i \sin x $$

  1. 오일러 등식:

$$ { e }^{ i\pi }+1=0 $$

설명

오일러 공식Euler’s Formula은 그 형태 자체가 워낙 기이해서 오일러 본인조차 어디다 쓰일지는 몰랐다고 하는데, 현대에는 너무나 많은 분야에서 활용되고 있어 요약을 하기가 어려울 정도로 유용한 공식이 되었다. 허수라는 것이 학계에서 아직 잘 받아들여지지 않았을 당시의 발견이라는 점을 생각해보면 더욱 경이롭다.유도 자체는 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수의 테일러 전개를 통해 간단히 할 수 있다.

$$ { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } $$

$$ \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } $$

$$ \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } $$

유도(오일러 공식)

$$ \begin{align*} { e }^{ ix } =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (ix) } ^{ n } }{ n! } } \\ =&\frac { { (ix) } ^{ 0 } }{ 0! }+\frac { { (ix) } ^{ 1 } }{ 1! }+\frac { { (ix) } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { (ix) } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { (ix) } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots \\ =&\frac { 1 }{ 0! }+\frac { ix }{ 1! }-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! }-\frac { i { x }^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots \\ =& \left( \frac { 1 }{ 0! } - \frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+\cdots \right) + i\left( \frac { x }{ 1! } - \frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+\cdots \right) \\ =& \cos x + i \sin x \end{align*} $$

따라서

$$ { e }^{ ix }= \cos x + i \sin x $$


이 공식에서 특히 $x=\pi$ 를 대입하면 이른바 ‘세상에서 가장 아름다운 등식’인 오일러 등식을 얻는다. 또 오일러 등식을 잘 만져보면 허수 단위 $i$ 의 $i$승, 즉 $i^i$ 의 값을 구할 수도 있다. 놀랍게도 그 값은 실수인데, 증명은 다음과 같다.

증명

$$ \begin{align*} && { e }^{ i\pi }+1 =& 0 \\ \implies && { e }^{ i\pi }=&-1 \\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 } } =& \sqrt { -1 } \\ \implies && { \left( { e } ^{ \frac { i\pi }{ 2 } } \right) }^{ i } =& { \sqrt { -1 } }^{ i } \\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 }i } =& { i } ^{ i } \\ \implies && { i }^{ i } =& { e }^{ -\frac { \pi }{ 2 } } \\ \implies && { i }^{ i } =& \frac { 1 }{ \sqrt { { e }^{ \pi } } } \end{align*} $$

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