기하학에서의 오일러 지표

기하학에서의 오일러 지표

Euler Characteristic in Geometry

정의

쉬운 정의

임의의 도형이 하나 주어졌다고 하자. 점의 개수를 $V$vertex, 모서리의 개수를 $E$edge, 면의 개수를 $F$face라고 하자. 이 도형의 오일러 지표Euler characteristic $\Chi$를 다음과 같이 정의한다.

$\Chi := V - E + F$

어려운 정의

곡면 $M$의 영역 $\mathscr{R}$에 대해서, 가우스-보네 정리를 만족시키는 $\Chi(\mathscr{R}) \in \mathbb{Z}$를 $\mathscr{R}$의 오일러지표라고 한다.

$$ \sum_{i=1}^{n} \int_{C_{i}}K_{g}ds + \iint_{R} K dA + \sum\theta_{i} = 2\pi \chi(R) $$

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같이보기

그래프이론에서의 오일러 표수

원래 오일러 표수는 그래프 이론에서 가장 유명한데, 오일러의 다면체 정리 혹은 오일러 공식연결 평면 그래프에 대해서 $\chi = 2$ 이라는 그래프이론의 정리다.

기하학에서의 오일러 지표

가우스-보네 정리의 방정식을 만족시키는 정수로써 정의된다.

대수위상에서의 오일러 지표

각 차원의 베티 수의 교대합으로써 정의된다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p189-190 ↩︎

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