직교행렬일 동치 조건

직교행렬일 동치 조건

정리

$n \times n$ 실수 행렬 $A$에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.

(a) $A$가 직교행렬이다.

(b) $A$의 행 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.

(c) $A$의 열 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.

(d) $A$가 내적을 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$

(e) $A$가 길이를 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$

증명

(a)$\iff$(b)(a)$\iff$(c) 는 증명 방법이 같으므로 후자는 생략한다.

(a) $\iff$ (b)

$A$를 $n\times n$ 행렬이라고 하고, $A$의 행벡터들을 $\mathbf{r}_{i}$로 나타내자.

$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$

그러면 $A A^{T}$는 다음과 같다.

$$ AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1}^{T} & \mathbf{r}_{2}^{T} & \cdots & \mathbf{r}_{n}^{T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$

(a) $\iff$ (d) $\iff$ (e)

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