노름 놈의 동치관계

노름 놈의 동치관계

Equivalent relation of norm

정의

벡터공간 $V$ 상에서 정의된 두 놈 $\left\| \cdot \right\|_{\alpha}, \left\| \cdot \right\|_{\beta}$과 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in V$ 에 대해

$$ c \left\| \mathbf{v} \right\|_{\alpha} \le \left\| \mathbf{v} \right\|_{\beta} \le C \left\| \mathbf{v} \right\|_{\alpha} $$

를 만족하는 $c , C >0$ 이 존재하면 두 놈은 서로 동치라 정의한다.

설명

이 서로 동치라는 것은 놈을 이용한 부등식을 다룰 때 서로 다른 놈을 사용해도 문제가 없다는 말이다. 당연히 사용하기 어려운 놈을 사용하기 쉬운 놈으로 바꿔 쓰는 식의 활용을 생각해볼 수 있을 것이다.

수식적인 표현을 풀어써보면 한 놈을 늘이거나 줄여서 다른 한 놈보다 커지기도 작아지기도 할 수 있을 때 동치관계가 된다. 이러한 정의는 상당히 상식적이라고 할 수 있는데, 결국 놈의 개념이 길이에서 왔다는 점을 떠올려보면 이해하기 쉽다. 길이를 재는 자의 원래 단위가 어떻게 되든 늘이거나 줄이면 비교 자체에는 써먹을 수 있다고 생각하면 편할 것이다


서로 동치인 놈 $\left\| \cdot\right\|_{\alpha}$와 $\left\| \cdot \right\|_{\beta}$가 주어져 있을 때, $\left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} \le \left\| \mathbf{y} \right\|_{\alpha}$라고 하자.

$\left\| \mathbf{x} \right\|_{\beta} < \left\| \mathbf{y} \right\|_{\beta}$라고 가정하면 동치의 정의에 따라 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$ 에 대해 다음을 만족시키는 $C_{\mathbf{y}} , C_{\mathbf{x}}$ 가 각각 존재해야한다. $$ \begin{align*} \left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} \le & \left\| \mathbf{y} \right\|_{\alpha} \\ =& C_{\mathbf{y}} \left\| \mathbf{y} \right\|_{\beta} \\ & < C_{\mathbf{y}} \left\| \mathbf{x} \right\|_{\beta} \\ \le & C_{\mathbf{y}} C_{\mathbf{x}} \left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} \end{align*} $$

그러나 $\mathbf{y} = \mathbf{0}$이면 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$이므로 다음과 같다.

$$ 0 = \left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} < C_{y} C_{x} \left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} = 0 $$

따라서 위 식을 만족시키는 $C_{\mathbf{y}}$, $C_{\mathbf{x}}$가 존재하지 않아 $\left\| \cdot\right\|_{\alpha}$와 $\left\| \cdot \right\|_{\beta}$ 가 서로 동치라는 전제에 모순이다. 따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$ \left\| \mathbf{x} \right\|_{\alpha} \le \left\| \mathbf{y} \right\|_{\alpha} \implies \left\| \mathbf{x} \right\|_{\beta} \le \left\| \mathbf{y} \right\|_{\beta} $$


특히 유클리드 공간보다 더 일반화된 $\mathbb{C}^n$ 에 대해서 놀랍도록 유용한 정리가 하나 있어 소개한다.

정리

벡터공간 $\mathbb{C}^n$에서 정의된 모든 놈은 동치다.


유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 은 $\mathbb{C}^n$ 의 부분공간이므로 활용가치가 높음은 말할 것도 없을 것이다. 더욱 일반화된 사실로, 유한차원 벡터공간에서 정의된 놈들은 서로 동치다.

전략: 최대최소값 정리를 이용해 $c$ 와 $C$ 의 존재성을 한 번에 보인다.

증명

구 $S = \left\{ z : \left\| z \right\|_{2} = 1 \right\}$ 에 대해, 함수 $h : S \to \mathbb{R}$ 를 $\displaystyle h(z) := {{ \left\| z \right\|_\beta } \over { \left\| z \right\|_\alpha }}$와 같이 정의하자. $h$ 는 컴팩트한 $S$ 상에서 연속이므로 최대최소값 정리에 의해 $c \le h(z) \le C$ 를 만족하는 $c, C$ 가 존재하므로 다음의 식이 성립한다.

$$ c \left\| z \right\|_{\alpha} \le \left\| z \right\|_{\beta} \le C \left\| z \right\|_{\alpha} $$

한편 $h$ 는 놈의 비율로 정의된 함수이므로 $h(z) > 0$이고 그 최소값 역시 $c>0$이어야한다. 따라서 놈 $\left\| \cdot \right\|_{\alpha}$ 와 $\left\| \cdot \right\|_{\beta}$ 는 동치다.

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