유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치임을 증명

유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치임을 증명

정리 1

유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치다.

설명

유클리드 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치라는 사실은 본 정리의 따름 정리에 해당한다.

증명

전략: $c \| v \| _{\alpha} \le \| v \| _{\beta} \le C \| v \| _{\alpha}$ 를 만족하는 $c , C >0$ 가 존재함을 보이면 두 놈 $\left\| \cdot \right\|_{\alpha}$ 와 $\left\| \cdot \right\|_{\beta}$ 는 동치다. 최대최소값 정리를 통해 $\displaystyle { { \| v \| _{\beta} } \over {\| v \| _{\alpha} } }$ 의 최대값과 최소값이 존재함을 한 번에 보인다.


유한 차원 벡터 공간 $X$ 에서 놈이 정의되었다면 기저 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 가 존재한다. 따라서 $X$ 의 모든 벡터는 $(\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) = \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$ 과 같이 나타낼 수 있다. $X$ 에서 정의된 세 놈 $\left\| \cdot \right\|_{1}$, $\left\| \cdot \right\|_{2}$ 그리고 $\left\| \cdot \right\|$ 을 생각해보자. 특히 $\left\| \cdot \right\|$ 는

$$ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| : = \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k} | $$

와 같이 선형 결합의 계수의 절댓값을 모두 더한 놈으로써 정의한다. 이제 $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|$ 그리고 $\left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ 임을 보이면 동치관계의 추이성에 의해 임의의 두 놈은 $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ 을 만족한다.


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p75. ↩︎

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