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극 좌표계에서 초점이 원점인 타원의 방정식

equations of ellipses in polar coordinates

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극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다. $$ r=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}\tag{a} $$ 혹은 $$ r=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} \tag{b} $$ 이때 $\alpha$는 통경, $\epsilon$은 이심률, $a$는 장반경, $b$는 단반경이다.

두 식과 증명은 본질적으로 같으나 $(b)$의 식과 증명은 고등학교에서 배우는 지식을 벗어나지 않는다는 특징이 있다.

증명 $(a)$

타원의 정의는 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이다. 그림에서 가장 오른쪽에 있는 점을 생각해보면 그 거리의 합이 $2a$라는 것은 쉽게 알 수 있다. 따라서 $$ r^{\prime}+r=2a \tag{1} $$ 이제 아래의 그림을 보자. 위 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면 $$ \begin{align*} {r^{\prime}}^{2} &= (r\sin \theta)^{2} + (2\epsilon a +r\cos \theta) ^{2} \\ &= r^{2}\sin ^{2} \theta +4\epsilon^{2}a^{2}+4\epsilon ar \cos \theta+ r^{2} \cos^{2} \theta \\ &= r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \end{align*} $$ 위 식의 좌변에 $(1)$을 대입하면 $$ \begin{align*} &&4a^{2} -4ar+r^{2}&=r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\ \implies &&4a^{2} -4ar&= 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\ \implies &&4a^{2}(1-\epsilon^{2})&= 4a(1+ \epsilon \cos \theta)r \\ \implies && r &= \frac{a(1-\epsilon ^{2})}{1+\epsilon \cos \theta } \end{align*} $$ 이 때 $\theta={\textstyle \frac{\pi}{2}}$라면 위 식은 아래와 같고, 그림을 통해 아래의 값이 통경 $\alpha$가 됨을 알 수 있다. $$ r=a(1-\epsilon^{2})=\alpha $$ 따라서 타원의 방정식을 극좌표로 나타내면 $$ r= \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta} $$

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증명 $(b)$**

출발은 같다. 타원의 정의에 의해서 $$ \begin{align*} \overline{F^{\prime}P} +\overline{PF} =2a \end{align*} $$ 점 $P$가 $B$에 위치할 때를 생각해보면 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$라는 관계식을 이끌어낼 수 있다.¹ 따라서 $$ \overline{F^{\prime}F}=2c=2\sqrt{a^{2}-b^{2}} $$ 이제 삼각형 $\triangle F^{\prime}PH$에 피타고라스 정리를 쓰면 $$ \begin{align*} &&(2a-r)^{2} &= (2 \sqrt{a^{2}- b^{2}}+r \cos \theta)^{2}+(r\sin \theta)^{2} \\ \implies && 4a^{2} -4ar +r^{2} &= 4(a^{2} - b^{2}) +4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos \theta +r^{2 }\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta \\ \implies && 4a^{2} -4ar \ &= 4(a^{2} - b^{2}) +4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos \theta \\ \implies && (a+\sqrt{a^{2} - b^{2}}\cos\theta)r &= b^{2} \\ \\ \implies && r&=\frac{b^{2}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos\theta} \\ && &=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} \end{align*} $$

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