물리학을 위한 미분방정식 기초: 자주 접하는 미분방정식의 풀이법

물리학을 위한 미분방정식 기초: 자주 접하는 미분방정식의 풀이법

미분방정식

학부 물리학을 공부하는 사람들을 위해 가능한 직관적으로 설명하였다.

미분 방정식이란, 간단히 말해서 미분이 포함된 방정식이다. 어려울 것 없이 가속도는 위치를 두 번 미분한 것이므로 가장 유명한 물리 공식인 $F=ma$도 미분 방정식이다.

다항삭 $x^{3}+3x+1=0$은 가장 큰 차수가 3이므로 3차 방정식이라 불린다. 마찬가지로 미분 방정식에서 가장 많이 미분된 횟수가 $n$일 때 그 미분 방정식을 $n$계 미분 방정식이라 부른다. n차degree 방정식이라 부르는 경우도 많지만 정확하게는 n계order 방정식이 맞다. $f^{\prime \prime}$를 $f$의 2차 도함수가 아니라 2계 도함수라고 부르는 것을 생각해보자.

이제 아래의 사실을 받아들이고 넘어가자.

선형결합이란 주어진 대상에 각각 상수를 곱하여 더한 것으로, 예를 들면 $x$와 $y$의 선형결합은 두 상수 $a, b$에 대해서 $ax+by$와 같은 식을 말한다.

일반해

일반해란, 미분 방정식의 모든 답을 표시할 수 있는 일반적인 형태를 말한다. 일반해의 가장 익숙한 예로 근의 공식이 있다. 2차 방정식의 근의 공식인

$$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $$

는 모든 $ax^{2} + bx + c = 0$꼴의 2차 방정식의 해를 나타내는 가장 일반적인 형태이다. 하나의 예를 더 들어보자. '$(0,3)$을 지나는 직선을 찾아라'는 문제의 답은

$$ y=x+3,\quad y=3x+3,\quad y=5x+3 $$

등이 될 수 있다. 이 때 가능한 모든 답을 한 번에 간단하게 표기하면 다음과 같다.

$$ y=ax+3 $$

따라서 $y=ax+3$이 문제의 일반해이다.

풀이

미분 방정식을 풀라는 말은 일반해를 구하라는 말과 같다. 다음의 네 미분 방정식은 물리학을 공부할 때 자주 접하게 된다. 따라서 해가 왜 그런 꼴인지 이해가 됐다면 외우고 있는 것이 좋다.

$X=X(x)$를 일변수함수, $\alpha$를 상수라고 하자.

1계 미분 방정식

$$ \frac{ d X}{ dx }=\alpha X $$

미분 해서 자기 자신이 나오는 함수를 찾는 것이다. 이는 고등학교에서부터 배워서 알다시피 $e^{x}$이다. 상수 $\alpha$에 대한 조건을 만족시키는 답은 다음과 같다.

$$ X(x)=e^{\alpha x} $$

여기서 앞에 어떤 계수가 곱해져있더라도 성립하므로, 일반해를 구하면

$$ X(x)=Ae^{\alpha x} $$

이 때 $A$는 임의의 상수.

계수가 양수인 2계 미분 방정식

$$ \begin{equation} \frac{ d^{2}X }{ dx^{2} }=\alpha ^{2} X \end{equation} $$

두 번 미분했을 때 여전히 자기 자신이면서 부호를 유지하는 함수는 마찬가지로 지수 함수 $e^{x}$이다. 상수 $\alpha$에 대한 조건을 만족시키는 답은 다음과 같다.

$$ X(x)=e^{\alpha x} $$

$(1)$에서 상수를 $\alpha$가 아니라 $\alpha ^{2}$으로 표기하는 까닭은 해를 깔끔하게 표기하기 위해서이다. 미분방정식에서 $\alpha$로 표기하면 해가 $X(x)=e^{\sqrt{\alpha}x}$가 되므로 위의 경우보다 깔끔하지 않다. 또한 $(-1)\times (-1)=1$이므로

$$ X(x)=e^{-\alpha x} $$

또한 $(1)$를 만족하는 답이라는 것을 알 수 있다. 따라서 일반해를 구하면 다음과 같다.

$$ X(x)=Ae^{\alpha x}+Be^{-\alpha x} $$

이 때 $A$, $B$는 상수이다.

계수가 음수인 2계 미분 방정식

$$ \frac{ d ^{2}X}{ dx^{2} }=-\alpha^{2}X \tag{2} $$

두 번 미분했을 때 여전히 자기 자신이면서 부호는 달라지는 함수는 잘 알다시피 $\cos x$와 $\sin x$이다. 상수에 대한 조건을 만족시키는 답은

$$ X(x)=\cos (\alpha x),\quad X(x)=\sin ( \alpha x) $$

따라서 일반해는

$$ X(x)=A\cos (\alpha x) +B\sin (\alpha x) \tag{3} $$

이 때 $A$, $B$는 상수이다. 그런데 지수 함수의 지수에 복소수 $i$가 포함돼있으면 마찬가지로 $(2)$를 만족시키기 때문에 $X(x)=e^{i\alpha x}$와 $X(x)=e^{-i\alpha x}$ 또한 해가 됨을 알 수 있다. 따라서 일반해는

$$ X(x)=Ce^{i\alpha x}+De^{-i\alpha x} \tag{4} $$

이 때 $C$, $D$는 상수이다. 오일러 공식 $e^{i\alpha x}=\cos (\alpha x) + i \sin (\alpha x)$에 의해 삼각함수와 지수함수를 서로 바꿔 적을 수 있기 때문에 $(3)$과 $(4)$는 표현만 다를 뿐 서로 같은 식이다. 양자역학에서와 같이 해가 복소함수(파동함수)일 경우 $i$가 포함된 지수함수 형태로 쓰고, 역학 등에서와 같이 해가 실수함수인게 분명한 경우 $\cos$으로 많이 쓴다.

상수항이 포함된 2계 미분 방정식

$$ \begin{equation} \frac{ d ^{2} X}{ d x^{2}}=\pm\alpha^{2}X+\beta \end{equation} $$

$(1)$과 $(2)$의 식을 간단히 나타내기 위해 계수를 생략하고 아래와 같이 적을 수 있다.

$$ \frac{ d ^{2}X}{ d x^{2} }\pm X=0 $$

이는 $X$와 $X$를 두 번 미분한 것은 부호의 차이를 제외하고는 같다는 의미이다. 그런데 $(5)$와 같이 미분 방정식에 상수항이 포함된다는 얘기는 부호 말고도 차이가 있다는 말이다. $X$와 $X^{\prime \prime}$ 사이에 상수항만큼 차이나게 하려면 간단하다. $X$에 상수항이 있다고 생각해보자. 한 번만 미분해도 없어질 상수항인데 두 번 미분하면 당연히 없다. 따라서 미분 방정식에 나타난 상수항에 적절한 다른 상수를 곱하여 $X$에 포함시켜주면 해가 된다. $X^{\prime \prime}=\alpha^{2} X + \beta$의 해는

$$ X(x)=Ae^{\alpha x} + B e^{-\alpha x} - \dfrac{\beta}{\alpha^{2}} $$

이고 $X^{\prime \prime}=-\alpha ^{2}X+C$의 해는

$$ X(x)=Ce^{i\alpha x}+De^{-i\alpha x} - \dfrac{\beta}{\alpha^{2}} $$

$(5)$에 대입해보면 실제로 성립하는 것을 확인해볼 수 있다.

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