쌍극자가 만드는 전기장

쌍극자가 만드는 전기장

공식1

전기 쌍극자 $\mathbf{p}$가 원점에 있고 방향이 $\hat{\mathbf{z}}$일 때, 쌍극자가 만드는 전기장은 다음과 같다.

$$ \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) $$

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이를 좌표계에 무관한 식으로 바꾸면 다음과 같다.

$$ \mathbf{E}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}] $$

유도

우선 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \hat{\mathbf{r}} =&\ \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} =&\ \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

따라서 괄호 안의 식을 계산하면

$$ \begin{align*} & 2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ =&\ 2 \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 2 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 2 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} \\ & + \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \sin\theta \hat{\mathbf{y}} -\sin^2\theta \hat{\mathbf{z}} \\ =&\3\cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 3 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 3 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 \cos\theta (\cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) - \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

마지막 등호는 $\cos\theta = \hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}$이므로 성립한다. 따라서 정리하면

$$ \begin{align*} \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta) =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\ =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{r^3}[3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}] \\ =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - p \hat{\mathbf{z}}] \\ =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}] \\ =&\ \mathbf{E}_{\text{dip}}( \mathbf{r} ) \end{align*} $$


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p169-170 ↩︎

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