아이젠슈타인 정수

아이젠슈타인 정수

정의

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$\mathbb{Z} [ \omega ] := \left\{ a + \omega b : a, b \in \mathbb{Z} \right\}$ 를 아이젠슈타인 링Eisenstein Ring이라 하고, 그 원소를 아이젠슈타인 인티저라 한다.

정리

설명

$\omega$ 는 삼차방정식 $x^3 +1 = 0$ 의 복소근 $\displaystyle \omega := {{-1 + \sqrt{-3}} \over {2}} = e^{2 \pi i/3 }$ 으로써, $\mathbb{Z} [\omega]$ 은 인티저 링 $\mathbb{Z}$ 의 심플 익스텐젼이 된다. 가우스 정수만큼이나 흥미로운 성질을 가진 수 체계로써, 계산이 좀 더 복잡하지만 본질적으로 가우스 정수와 비슷하기에 크게 낯설지는 않다. 복소평면에서 보면 $i$ 는 $1,i,-1,-i$ 로 사각형 격자를 이루며 $\omega$ 는 $1, - \omega^2, \omega, -1, \omega^2, -\omega$ 로 삼각형 격자를 이룬다.

물론 가우스 정수에도 가우스 소수가 있듯, 아이젠슈타인 정수에도 아이젠슈타인 소수가 있다.

$\mathbb{Z} [i]$ 상에서는 다음과 같이 상식적인 수식전개가 가능하다: $$ \begin{align*} (7 + \omega 2)(4 - \omega 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \end{align*} $$ 또한 어떤 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 이 주어졌을 때, 유한 링 $\mathbb{Z}_{n}$ 에 대해서도 $\mathbb{Z}_{n}[i]$ 를 생각해볼 수 있다. 가령 $n = 7$ 이라고 할 때 위의 전개는 다음과 같이 바뀐다: $$ \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \\ & \equiv 4 - \omega 2 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + \omega 5 \pmod{7} \end{align*} $$ 너무나 자연스럽게 합동식을 사용한 것에 주목하라. $\mathbb{Z} [i]$ 에서 됐다면 수학적 직관대로 $\mathbb{Z} [\omega]$ 에서 되는 것도 상식적인것처럼 보인다. $i$ 를 거듭제곱해도 고차항이 생기지 않듯, $\omega$ 역시 $\omega^2 = -(1+\omega)$ 처럼 차수를 떨어뜨릴 수 있다. 물론 이는 단순 계산이 아니라 심플 익스텐젼의 성질에 따라 수학적으로 보장되어 있는 사실이기도 하다.

한편 $2$ 와 $3$ 은 가장 작은 짝수 소수와 가장 작은 홀수 소수다. 실제로 공부해보면 가우스 정수에 대한 성질을 파고들수록 $i$ 는 $2^2$ 에, 아이젠슈타인 정수에 대한 성질을 파고들수록 $3$ 에 집착하는 느낌이 든다. 재미있게도 $\overline{i} = i^3$ 이고 $\overline{\omega} = \omega^2$ 인데, 보면 볼수록 순수수학이 아름답다는 것을 느낄 수 있다.

아이젠슈타인 링의 영인자 그래프알캄에 의해 연구되었다.

증명

[1]

$\omega$ 의 정의와 컨쥬게이트의 성질에 따라 $$ \begin{align*} \omega^2 =& \left( e^{2 \pi i/3 } \right)^2 \\ =& - e^{ \pi i/3 } \\ =& - {{ 1 + i \sqrt{3} } \over { 2 }} \\ =& \overline{ \left( { -1 + i \sqrt{3} } \over { 2 } \right) } \\ =& \overline{ \omega } \\ =& - (1 + \omega) \end{align*} $$

[2]

$\mathbb{Z} [ \omega ]$ 는 링이고, 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하므로 $$ \begin{align*} ( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) =& a \pm \omega b + c \pm \omega d \\ =& a \pm c + \omega b \pm \omega d \\ =& (a \pm c) + \omega (b \pm d) \end{align*} $$

[3]

**[1]과 [2]에 따라 $$ \begin{align} ( a + \omega b )( c + \omega d) =& ac + \omega ad + \omega bc -(1 + \omega) bd \\ =& (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc) \end{align} $$

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