아인슈타인 표기법

아인슈타인 표기법

노테이션

두 번 이상 반복되는 첨자에 대해서는 합기호 $\sum$를 생략한다.

설명

아인슈타인 합 규약Einstein summation convention이라 부르기도 한다. 공식 같은 것은 아니고 말 그대로 일종의 규칙이다. 벡터 계산을 하다 보면 한 수식에 $\sum$을 몇 겹씩이나 써야 하는 경우가 흔히 생기는데 이러면 수식이 지저분해지고 손으로 쓸 때도 매우 귀찮다. 따라서 두 번이상 반복되는 첨자가 있을 때는 합 기호를 생략하자는 약속이다. 물론 의미를 헷갈리지 않게 주의해야한다.

헷갈리면 좌변에 어떤 인덱스가 있는지 확인해보면 된다. 좌변에 분명히 인덱스 $i$가 없다면, 우변에서 아인슈타인 노테이션에 의해 $\sum \limits_{i}$가 생략된 것이다. 반대로 좌변에 인덱스 $j$가 있다면, 우변에서는 $j$에 대한 $\sum$이 생략된게 아니라 그냥 없는 거다.

예시

$1,2,3$이 각각 $x,y,z$를 나타낸다고 하자. 벡터 $\mathbf{A} = (A_{1}, A_{2}, A_{3})$, $\mathbf{B} = (B_{1}, B_{2}, B_{3})$가 주어졌다고 하자.

벡터

$$ \begin{align*} \mathbf{A} &= \hat{\mathbf{e}}_{1}A_{1} + \hat{\mathbf{e}}_{2}A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{3}A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \\ &= \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \end{align*} $$

두 벡터의 내적

$$ \begin{align*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} \\ &= A_{i}B_{i} \end{align*} $$

크로네커 델타를 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j} $$

벡터 함수다이벌전스

$\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}$라고 하자. 그러면 두 벡터의 내적에서와 비슷한 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{A} &= \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}} + \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \\ &= \nabla_{1} A_{1} + \nabla_{2} A_{2} + \nabla_{3} A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \nabla_{i} A_{i} \\ &= \nabla_{i}A_{i} \\ &= \delta_{ij}\nabla_{i}A_{j} \end{align*} $$

두 벡터의 외적

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \times \mathbf{B} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( A_{3} BA_{1} - A_{1} B_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{2} B_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j} B_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j}B_{k} \end{align*} $$

이때 $\epsilon_{ijk}$는 레비-치비타 심볼이다. 위 결과에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )_{i} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k} $$

벡터함수

$\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}$라고 하자. 그러면 두 벡터의 외적에서와 비슷한 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} & \nabla \times \mathbf{A} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( \nabla_{2} A_{3} - \nabla_{3} A_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( \nabla_{3} A_{1} - \nabla_{1} A_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( \nabla_{1} A_{2} - \nabla_{2} A_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \end{align*} $$

여기에서 $\nabla_{i}$가 미분이라는 것을 항상 유념해야 한다. 보통의 벡터 성분들은 순서를 바꿔 적어도 큰 문제가 없다.

$$ A_{1}A_{2}A_{3} = A_{2}A_{1}A_{3} $$

다만 $\nabla_{i}$는 미분이므로 벡터의 성분과 순서를 절대 바꿔적으면 안된다.

$$ A_{1}\nabla_{2}A_{3} \ne \nabla_{2}A_{1}A_{3} $$

가령 $\mathbf{A} = (y,xy,xyz)$라고 하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$ A_{1}\nabla_{2}A_{3} = y \dfrac{\partial (xyz)}{\partial y} = xyz \ne 2xyz = \dfrac{\partial (xy^{2}z)}{\partial y} = \nabla_{2}A_{1}A_{3} $$

물론 $\dfrac{\partial^{2} }{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^{2} }{\partial y\partial x}$이므로 $\nabla_{1}\nabla_{2}=\nabla_{2}\nabla_{1}$는 성립한다.

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