고유값 방정식을 푸는 방법

고유값 방정식을 푸는 방법

eigenvalue problem2


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물리학에서 고유값 문제를 배우는 이유

$n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $$ A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \tag{1} $$ 행렬 $A$에 대해서 위의 식을 만족하는 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{x}$와 상수 $\lambda$를 찾는 것을 고유값 문제라고 한다. 이러한 행렬 $\mathbf{x}$를 $A$의 고유함수라하고 $\lambda$를 $\mathbf{x}$의 고유값이라 한다.

행렬 $A$가 주어지면 고유값 방정식을 세워 고유값을 구할 수 있다. 고유값을 구하면 고유함수도 구할 수 있다.고유값 방정식의 풀이 $(1)$을 우변이 $0$이 되도록 정리하면 $$ \begin{align} && A\mathbf{x}=&\ \lambda \mathbf{x} \\ \implies && A\mathbf{x}-\lambda \mathbf{x}=&\0 \\ \implies && (A-\lambda I)\mathbf{x}=&\0 \end{align} $$ 여기서 행렬 $(A-\lambda I)$의 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 역행렬을 양변에 곱해주면 $$ \mathbf{x}=(A-\lambda I)^{-1} \cdot 0=0 $$ 이므로 $\mathbf{x}=0$이다. 그런데 이런 해는 아무 의미가 없으므로 $0$이 아닌 $\mathbf{x}$를 구하는 것에 집중해보자. 그러려면 $(A-\lambda I)$의 역행렬이 존재하면 안된다. 임의의 행렬의 역행렬이 존재하지 않을 조건은 행렬식이 $0$인 것이다. 따라서 $0$이 아닌 $\mathbf{x}$를 구하는 조건은 다음과 같다. $$ |A-\lambda I |=0 $$ 이때 위 식을 특성 방정식$(\mathrm{characteristic\ equation})$이라고 하고 이 특성 방정식의 해가 바로 고유값이다.**예제 ** 고유값 구하기 행렬 $A$가 $A=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$로 주어졌다고 하자. 그러면 $A-\lambda I$는 아래와 같다. $$ \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}-\lambda I = \begin{pmatrix} 6 -\lambda& 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ 특성방정식을 풀면 $$ \begin{align} \begin{vmatrix} 6 -\lambda & 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} =&\ (\lambda -6)(\lambda -3)-4 \\ =&\ \lambda^2-9\lambda+14 \\ =&(\lambda-7)(\lambda-2)=0 \end{align} $$ 따라서 두 고유값이 $\lambda=7$, $\lambda=2$라는 것을 알 수 있다.

고유함수 구하기 고유값을 구했다면 각 고유값에 대응되는 고유함수를 구할 수 있다. $\mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$라고 하자. Case 1 $\lambda = 7$

$$ \begin{align*} && (A-\lambda I) \mathbf{x}=&\0 \\ \implies && \begin{pmatrix} 6-7 & 2 \\ 2 & 3-7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=&\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \implies && \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=&\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \implies && \begin{pmatrix} -1x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} -4x_{2} \end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} $$

이 때 $2x_{1}=x_{2}$가 성립하는 어떤 $x_{1}$, $x_{2}$라도 위 식을 만족시키므로 위 식의 해인 $\mathbf{x}$는 무수히 많다. 그런데 양자역학에서 $\mathbf{x}$는 곧 파동함수이고 파동함수는 규격화하지 않으면 의미가 없다. 따라서 어차피 규격화를 할 것이기 때문에 위 식을 만족하는 아무 $x_{1}$, $x_{2}$의 쌍을 고르면 된다. 어떤 쌍을 선택해도 규격화 과정을 거치면 결국 같은 값이 된다. 여기서 중요한 점은 최대한 간단한 꼴을 고르는 것이다. 괜히 $x_{2}=1000$일 때 $x_{1}=2000$인 해를 선택할 필요는 없다는 말이다. $x_{1}=1$일 때 $x_{2}=2$이므로 고유함수는 $$ \mathbf{x_{1}}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 이 때 또 중요한 점은 반드시 규격화를 해야한다는 것이다. 규격화된 고유함수는 $$ \mathbf{x}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Case 2 $\lambda =2$ 위와 같은 방법으로 규격화된 고유함수 $x_{2}$를 구하면 $$ \mathbf{x}_{2}= \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

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