물리학에서 고유값 문제란

물리학에서 고유값 문제란


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고유값 문제를 푸는 방법

$n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $$ A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} $$ 행렬 $A$에 대해서 위의 식을 만족하는 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{x}$와 상수 $\lambda$를 찾는 것을 고유값 문제라고 한다. 이러한 행렬 $\mathbf{x}$를 $A$의 고유함수라하고 $\lambda$를 $\mathbf{x}$의 고유값이라 한다.

물리나 공학을 배우고 있다면 고유값 문제를 반드시 배울텐데 많은 학생들이 이게 대체 뭔지, 왜 배우는지 잘 이해하지 못하는 경우가 많다. 고유값 문제에 대해서 배우는 이유는 이를 통해 어려운 문제에 쉽게 접근할 수 있기 때문이다. 예를 들어 아래와 같은 연립 방정식을 생각해보자. $$ \begin{cases}ax+by+cz=\alpha \\ dx+ey+fz=\beta \\ gx+hy+iz=\gamma \end{cases} $$ 이를 쉽게 풀기 위해 고안된 것이 행렬이다. 위의 연립 방정식을 행렬로 표현하면 아래와 같다. $$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} $$ 좌변의 $3\times 3$행렬의 역행렬이 존재하면 양변에 곱해줘서 $x$, $y$, $z$의 값을 구할 수 있다. $$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} $$ 따라서 역행렬을 구하는 문제가 곧 연립 방정식을 푸는 문제가 되고 이것이 역행렬을 구하는 문제가 중요한 이유이다. 연립 방정식을 푸는 문제를 역행렬을 구하는 문제로 바꾸어 해결했듯이 물리학의 여러 상황을 고유값 문제를 푸는 것으로 바꿔서 해결할 수 있다. 이것이 고유값 문제를 배우는 이유이다.

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